“悖论”是英文paradox一词的意译，从字面上讲就是荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义：如果某一理论的公理看上去是真实的，它的推理规则也是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论。

逻辑悖论是推动数学学科取得创新发展的强大内在动力。“毕达哥拉斯悖论”、“贝克莱悖论”和“罗素悖论”分别引起了数学史上的三次重大数学危机，也分别导致了数学史上的三次重大数学突破。

一、《随机过程》布朗运动定义

设X(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移（图1），X(0)=0，定义

（1）X(t)为平稳独立增量过程；

（2）X(t)～N(0，σ² t)，其中σ>0为常数；

（3）X(t)是t的连续函数。

则称X(t)是参数为σ²的布朗运动或维纳过程。

图1 布朗粒子位移曲线

二、布朗运动定义中的逻辑悖论

在布朗运动定义中，由于违反形式逻辑同一律，用随机变量和时间函数这两个内涵与外延完全不同的数学概念来描述同一个布朗粒子在t时刻的位移X(t)，导致计算出不同的数学期望和方差（表1），因此产生了逻辑悖论。

表1 布朗运动定义中的逻辑悖论

三、结论

布朗运动定义是《随机过程》布朗运动理论的基本假设，布朗运动定义中的逻辑悖论导致《随机过程》布朗运动理论的逻辑完备性在逻辑出发点就遭到彻底破坏。

参考：

布朗运动理论中的反常问题及原因分析（预印本）