数学具有严谨的逻辑性。严谨的逻辑性是指逻辑推理的严密性，是数学区别于其它科学的最显著特点之一，但是，《随机过程》教科书中却出现了一系列的逻辑错误和逻辑悖论。

一、逻辑思维基本规律

逻辑思维就是运用概念、做出判断、进行推理的过程。逻辑思维活动和一切事物一样，是有规律的，逻辑思维基本规律决定了正确思维所必须具有的确定性、无矛盾性和明确性等特征。

1、同一律

在同一推导、演算和分析过程中，所使用数学概念的内涵和外延必须要与其自身始终保持同一。如果在同一数学思维过程中，把两个完全不同的数学概念混为一个概念，就会违反同一律，犯“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误，必然会导致推导出的结论在逻辑上不能自洽。

2、矛盾律

在同一数学思维过程中，两个不同的数学概念不能反映同一对象。如果用两个不同的数学概念描述同一对象，就会出现违反矛盾律的逻辑错误，必然会导致逻辑矛盾或逻辑悖论的产生。

二、《随机过程》教科书中的逻辑错误

以布朗运动定义为例，分析《随机过程》教科书中的逻辑错误。

定义是通过简明陈述来揭示概念内涵或解释命题的逻辑方法。布朗运动定义是对现实世界布朗运动基本数量关系的反映，是建立布朗运动理论的基本假设、基本原理或基本公理，必须要遵守逻辑思维的基本规律。

表1为布朗运动定义逻辑错误分析。布朗运动定义中的被定义项为时间函数，但是布朗运动定义中的定义项却用随机变量和时间函数这两个完全不同的数学概念来描述同一个布朗粒子在同一时刻的位移，从而出现了违反同一律和矛盾律的逻辑错误，必然会导致《随机过程》布朗运动理论产生逻辑悖论，在逻辑上不能自洽。

表1 布朗运动定义中的逻辑错误分析

布朗运动定义是建立《随机过程》布朗运动理论的逻辑基础，布朗运动定义中出现逻辑错误，表明《随机过程》布朗运动理论的逻辑完备性遭到颠覆式破坏。

三、《随机过程》教科书中的逻辑悖论

“悖论”是指自相矛盾的命题，或荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义：如果某一理论的公理看上去是真实的，它的推理规则也是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论。

逻辑悖论的出现是推动科学理论取得突破性发展的强大内在逻辑动力。数学史上的三次重大数学危机均由逻辑悖论的发现而引发，逻辑悖论的发现同时也导致了数学史上的三次重大数学突破，对推动数学的突破性发展发挥了巨大作用。

1、布朗运动逻辑悖论

设为一个布朗粒子在时刻的位移，  为布朗运动首中时，则首中位置  为常数。

根据布朗运动定义的性质，可得  的数学期望和方差分别为

但是，根据首中位置 也可计算出  的数学期望和方差，有

显然，根据首中位置 计算出的数学期望和方差与布朗运动定义给出的数学期望和方差相互矛盾。

2、随机游走逻辑悖论

一维简单随机游走 的数学期望和方差为

表明  时，随机游走  的方差  。

《随机过程》随机游走定理表明：一维简单随机游走具有常返性。

常返性是指随机游走的步数  充分大时，从原点出发的质点返回原点无穷多次的概率等于1，即

因此有

表明步数  充分大时，  发生无穷多次的概率也等于  ，与  时， 的性质矛盾。

四、结论

科学理论是由一系列概念、判断和推理组成的逻辑系统，必然要求科学理论内部必须在逻辑上自洽。《随机过程》教科书中出现逻辑错误和逻辑悖论，表明《随机过程》理论的逻辑完备性遭到破坏，其内部必然隐藏着重大科学问题，不仅预示着《随机过程》理论即将发生重大范式转换，而且也为《随机过程》理论产生革命性演变带来了难得的发展机遇。