随机现象是指在一次试验中其结果呈现出不确定性，但是在大量重复试验中其集体结果又具有确定性统计规律的现象。例如在抛硬币试验中，虽然每次抛出硬币后的结果完全随机、毫无规律、无法预测，但是随着抛硬币次数的逐渐增大，所有试验结果就会呈现出50%正面向上和50%反面向上的确定性统计分布规律。

数学抽象是指将实际随机现象中的数量关系提炼为相应的数学概念或数学模型，从而可刻画随机现象的本质属性与内在规律。在特定的语境中，数学抽象有时是指“数学抽象的结果”，有时是指“数学抽象的过程”或“数学抽象的方法”。这里分别给出了概率论、随机过程和精密仪器三个学科对随机现象数量关系及规律的数学抽象结果。

一、随机时间序列

假设第i次抛出硬币后的结果为x(i)，若硬币正面向上，令x(i)=1；若硬币反面向上，令x(i)=-1，则连续n次抛硬币试验观察结果就构成一个按时间顺序形成的随机时间序列

x(1)，x(2)，…，x(i)，…，x(n)                                            

简记为{ x(n)}。

《随机过程》教科书中的随机游走和布朗运动就是基于随机时间序列{ x(n)}构建的，因此，随机时间序列{ x(n)}的数量关系及内在规律是研究随机游走和布朗运动的基础，也是建立随机游走理论和布朗运动理论的基本原理（基本假设或运动定律）。

二、概率论学科

假设随机时间序列{ x(n)}中有n_H个序列值等于1，n_T个序列值等于-1，则硬币正面向上事件和反面向上事件出现的概率（随机现象数量关系及规律）分别为

显然，《概率论》认为随机时间序列{ x(n)}中的单个序列值x(i)完全随机、毫无规律、无法预测，但{ x(n)}中的所有序列值具有确定性的统计规律。

三、随机过程学科

《随机过程》对随机现象数量关系及内在规律的认识与《概率论》完全不同，《随机过程》认为随机时间序列{ x(n)}中的每个序列值x(i)都具有相同的确定性数学规律，并定义

《随机过程》学科基于随机时间序列{ x(n)}中每个序列值x(i)都具有相同确定性数学规律的假设，定义了随机游走，并派生出布朗运动理论。

从《概率论》对p和q的统计定义可以看出， p和q是硬币正、反面向上事件发生频率的稳定值。在n=1时，硬币正、反面向上事件发生的频率不是0就是1，根本不存在稳定的频率值。若在n=1时存在p=q=1/2，则表示每一次硬币被抛出后，硬币必然会一分为二，出现半个硬币正面向上和半个硬币反面向上的荒谬结果。

四、精密仪器学科

人类为了认识客观世界，需要对各种自然现象进行测量。受测量方法、测量仪器和周围环境的影响，以及人类认识的局限性，测量数据和被测量的真值之间不可避免地存在着随机误差。

为了提高测量精度，必须要对随机误差的性质、规律、产生原因及消除方法进行深入研究和分析。《概率论》中的正态分布就是德国数学家高斯（Gauss）在1809年研究测量误差时发现的，后来人们发现正态分布在自然界和人类社会实践活动中极为常见。

《精密仪器》和《概率论》对随机现象数量关系及内在规律的认识完全一致，认为单个的随机时间序列值x(i)完全随机、毫无规律、无法预测，但是整个随机时间序列{ x(n)}具有确定性的统计规律。

1、随机时间序列{ x(n)}的均值

式中p和q为《概率论》定义的硬币正面向上事件和反面向上事件出现的概率。

均值μ反映了随机时间序列{ x(n)}中的确定性成分，其物理意义为随机信号{ x(n)}中的直流分量大小。

从随机时间序列{ x(n)}的均值μ计算公式可以看出，概率p和q反映的是随机时间序列{ x(n)}的均值大小，即{ x(n)}中的确定性成分。

2、随机时间序列{ x(n)}的方差

方差σ²反映了随机时间序列{ x(n)}中的随机成分偏离均值的程度，其物理意义为随机信号{ x(n)}中交流分量的平均功率。

3、随机时间序列{ x(n)}的自相关函数

式中δ(k)为单位冲击序列。

随机时间序列{ x(n)}的自相关函数r(k)反映了不同时刻序列值的关联性。r(k)=δ(k)表明，随机时间序列{ x(n)}中的每一个序列值x(i)都是独立的，互不相关，不可预测，随机时间序列{ x(n)}没有记忆性。

4、随机时间序列{ x(n)}的功率谱密度

由维纳-欣钦定理，平稳随机信号的自相关函数与其功率谱密度之间构成一对傅立叶变换，可得随机时间序列{ x(n)}的功率谱密度函数

表明{ x(n)}的功率谱密度在整个频率轴（-∞，+∞）上为常数，{ x(n)}为白噪声序列。

基于{ x(n)}为白噪声序列的结论，可以给出与实际随机现象相符的随机游走定义：

随机游走定义：若时间序列S(n)的一阶差分ΔS(n)=S(n)-S(n-1)=x(n)，{x(n)}为定义在为[-∞，+∞]上零均值不相关白噪声序列，则称S(n)为随机游走。

参考：随机游走定义的概念错误及纠正（后印本）

精密仪器学科使用随机时间序列{ x(n)}的均值、方差、自相关函数和功率谱密度函数等数学概念来描述{ x(n)}的数量关系和统计特性，可全面、深刻地揭示出随机时间序列{ x(n)}的本质特征及内在规律。

五、结论

数学是研究现实世界中数量关系与空间形式的一门学科。《随机过程》学科对《概率论》和工程技术学科早就阐明了的随机现象数量关系及内在规律视而不见，放弃了《概率论》对随机现象数量关系及内在规律的正确描述，凭空臆造出了与客观事实严重不符的随机现象数量关系及规律，将《随机过程》理论建立在错误的基本假设上，导致《随机过程》理论出现了一系列与经验事实不符和逻辑上不能自洽等反常问题。