《随机过程》是一门利用数学方法解决实际动态随机问题的应用数学学科，但是《随机过程》学科却对《概率论》早就阐明的随机现象数量关系及规律视而不见，违背随机现象“个别结果不确定”的客观事实，凭空假定随机现象个别结果也具有确定性的数学规律，导致《随机过程》理论建立在错误的基本假设上。《随机过程》在数学抽象过程中不仅违背了其它学科的函数、概率、正态分布等基本概念，而且也违背了《随机过程》学科自己的随机过程定义，竟然会混淆样本函数与随机变量的区别。《随机过程》甚至在定义、推理或证明过程中出现了违反同一律和矛盾律的逻辑错误，建立的理论不仅与函数、概率、正态分布和随机过程等数学基本概念冲突，而且出现了一系列理论与经验事实不符和逻辑上不能自洽等反常问题，因此，《随机过程》是一门违背基本常识、基本概念和逻辑推理基本规则的反常学科，即将面临库恩在《科学革命的结构》书中所描述的重大范式变革。

一、研究方法违背随机现象“个别结果不确定”的客观事实

随机现象是指在一次试验中其结果呈现出不确定性，但是在大量重复试验中其集体结果又具有确定性统计规律的现象。

例如在抛硬币试验中，虽然每次抛出硬币后的结果完全随机、毫无规律、无法预测，但是随着抛硬币次数的逐渐增大，所有试验结果就会呈现出50%正面向上和50%反面向上的确定性统计分布规律。

假设第i次抛出硬币后的结果为x(i)，若硬币正面向上，令x(i)=1；若硬币反面向上，令x(i)=-1，则连续n次抛硬币试验观察结果就构成一个按时间顺序形成的随机时间序列

x(1)，x(2)，…，x(i)，…，x(n)

假设上述随机时间序列中有n_H个序列值等于1，n_T个序列值等于-1，则硬币正面向上事件和反面向上事件出现的概率（随机现象数量关系及规律）分别为

但是，《随机过程》教科书对随机现象在一次试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有确定性统计规律的客观事实视而不见，却凭空假设每一次抛硬币的结果也具有确定性的数学规律，并定义

这表示随机时间序列x(1)，x(2)，…，x(n)中的所有序列值都具有相同的确定性数学规律，与随机现象个别结果“完全随机，毫无规律、不可预测”的客观事实和本质特征不符。

若每一次硬币抛出后，正、反面出现的概率均为1/2，则意味着每一次硬币被抛出后，硬币必然会一分为二，出现半个硬币正面向上和半个硬币反面向上的荒谬结果。

数学是研究现实世界中数量关系与空间形式的一门学科，《随机过程》放弃了《概率论》对随机现象数量关系及规律的正确描述，凭空臆造出了与客观事实严重不符的随机现象数量关系及规律，将《随机过程》理论建立在错误的基本假设（数量关系及规律）上。

二、数学抽象违背函数基本概念

函数定义：在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，则称变量y为变量x的函数，记作

y=f(x)                                                              

其中变量x称为自变量，变量y称为因变量或函数。

函数f(x)通常有三种表示方法：解析法、列表法和图像法。

观察质点位移x(t)随时间t的变化过程（图1），无论质点做确定性运动还是随机性运动，在每一个确定的时刻t，都有唯一一个确定的质点位置x(t)与时间t “一一对应”，因此，质点位移x(t)与时间t之间的数量关系无疑为函数关系。

图1 质点位移与时间之间的数量关系

但是，《随机过程》在研究随机运动的质点位移与时间之间的数量关系时，竟将质点位移与时间之间的数量关系抽象为随机变量x(t)，而随机变量x(t)是定义在样本空间Ω上的函数，其自变量为样本点ω，随机变量x(t)在t时刻的取值有多个或无穷多个（表1）。

表1 时间函数与随机变量的区别

与其它学科相比，数学具有高度的抽象性、严谨的逻辑性和广泛的使用性。高度的抽象性是指把实际问题或研究对象中的数量关系与空间形式，提炼为由数学概念和数学符号表示的数学结构或数学模型。如果在抽象环节出现基本概念错误，则建立的数学理论就像基础不牢的高楼大厦一样，迟早会发生地动山摇般的坍塌。

随机运动的质点位移与时间之间的数量关系究竟是时间函数还是随机变量？这个问题就相当于十六世纪天文学的日新说和地心说之争，最终会改变人类认识客观世界的思维方式。

《随机过程》将随机运动的质点位移与时间之间的数量关系抽象为随机变量，无形中将物理研究对象从一个质点改变为大量质点，因而建立的理论必然与经验事实不符，理论内部逻辑上不能自洽。

参考：一张图看懂随机变化的变量与随机变量的区别

三、违背概率基本概念

概率定义：在相同条件下重复进行n次试验，其中事件A发生的次数为n_A，如果随着试验次数n的增多，事件A发生的频率n_A/n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

对于抛硬币试验，当n=1时，频率不是0就是1，根本不存在稳定的频率值。但是，《随机过程》仍然定义每一次抛硬币结果出现正面向上的概率p=1/2，歪曲了概率定义的内涵及外延。

四、违背正态分布基本概念

自从1809年德国数学家高斯（Gauss）发现测量误差服从正态分布（图2）后，人们发现正态分布在自然界和人类社会实践活动中极为常见。

图2 正态分布

正态分布具有如下两个重要的特征：

（1）对称性。绝对值相等的正、负样本数据出现的次数大致相等。

（2）集中性。绝对值小的样本数据比绝对值大的样本数据出现的次数多。

图3是服从正态分布的高斯白噪声函数图像，显然具有正态分布的对称性和集中性。

图3 高斯白噪声函数图像

观察图1（b）所示的布朗粒子位移曲线，根本不具有正态分布的对称性和集中性，但是，维纳过程定义却假定图1（b）所示的布朗粒子位移曲线服从正态分布。

五、违背随机过程定义

随机过程X(t)是定义在Ω×T上的二元函数X(ω,t)。对于固定的时间t，X(ω,t)是样本点ω的函数，称为随机变量，记为X(t)；对于固定的样本点ω，X(ω,t)是时间t的函数，称为样本函数或样本轨道，记为x(t)。

一个样本函数x(t)对应着随机试验中的一次“测量结果”，即人们实际观察到的随机现象随时间演变过程，因此x(t)也被称为随机过程的一个“实现”，

图4为随机过程X(ω,t)、随机变量X(t)和样本函数x(t)三者之间的关系示意图。

图4 随机过程定义

图4中的三条样本函数曲线x₁(t)，x₂(t)和x₃(t)可分别看成是三个随机运动质点的位移曲线，因此，随机过程X(ω,t)即可成是所有样本轨道x(t)的集合，也可看成是所有随机变量X(t)的集合。

从图4可以看出，随机变量X(t)和样本函数x(t)具有完全不同的物理意义。随机变量X(t)用来描述大量质点的空间位置分布规律，样本函数x(t)则用来描述一个质点的时间运动规律。

随机变量X(t)和样本轨道x(t)是两个具有完全不同内涵与外延的单值函数，但是，《随机过程》在研究随机游走和布朗运动样本轨道的性质时，却将样本轨道x(t)当作随机变量X(t) ，因而出现了一系列理论与事实不符和逻辑上不能自洽的反常问题。

六、结论与物理学理论和实验结果不符

图5为物理学布朗运动位移和瞬时速度的实验曲线，其中图5（a）和（b）分别为一个布朗粒子的位移曲线和瞬时速度曲线，图5（c）和（d）分别为大量布朗粒子的位移曲线和瞬时速度曲线。

图5 布朗运动位移和瞬时速度曲线

物理学布朗运动理论和实验结果表明：

（1）一个布朗粒子的瞬时速度在不同时刻的取值服从（0，σ²）正态分布；

（2）所有布朗粒子的瞬时速度在同一时刻的取值服从（0，σ²）正态分布；

（3）所有布朗粒子的位移在同一时刻的取值服从（0，σ²t）正态分布。

在图5中，只有图5（a）所示的一个布朗粒子的位移曲线不服从正态分布。

《随机过程》教科书根据维纳过程定义，推导出了一个布朗粒子的位移服从（0，σ²t）正态分布和瞬时速度无穷大（处处不可导）的结论，与物理学布朗运动理论和实验结果完全不符。

事实上，《随机过程》学科认错了对象，弄错了事实，竟然张冠李戴，将刻画大量布朗粒子集体行为的正态分布用来描述一个布朗粒子的个体行为，这就如同用描述大量分子热运动集体行为的温度来度量一个分子的动能一样荒谬。

七、违反逻辑推理同一律

与其它学科相比，数学具有高度的抽象性、严谨的逻辑性和广泛的使用性，严谨的逻辑性是指逻辑推理的严密性。但是，《随机过程》教科书中却出现了违反逻辑推理同一律和矛盾律的逻辑错误。

同一律的内容是：在同一推导、演算和分析过程中，所使用的概念必须要与其自身始终保持同一。同一律要求逻辑推理过程必须具有确定性，也就是说，无论一个概念被使用或重复多少次，这个概念的内涵和外延必须是确定的。

如果在同一定义、推理或证明过程中，把两个内涵与外延完全不同的概念混为一个概念，不能保持概念内涵和外延的确定和同一，就会违反同一律，犯“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误，导致推导出的结论自相矛盾，逻辑上不能自洽。

表2为维纳过程定义逻辑错误分析，虽然定义项（3）保持了被定义项布朗粒子位移x(t)时间函数概念的确定和同一，但是定义项（1）和定义项（2）没有保持被定义项x(t)时间函数概念的确定和同一，违背了逻辑推理的同一律要求，从而产生了“混淆概念”或“偷换概念”的逻辑错误。

表2 维纳过程定义逻辑错误分析

八、违反逻辑推理矛盾律

矛盾律的基本内容是：在同一思维过程中，两个不同的数学概念不能反映同一对象。如果用两个不同的数学概念描述同一对象，就会出现违反矛盾律的逻辑错误，必然会导致逻辑矛盾或逻辑悖论的产生。

从表2可以看出，维纳过程的定义项使用随机变量和时间函数这两个内涵与外延完全不同的数学概念来描述同一对象，出现了违背矛盾律的逻辑错误。

九、结论

《随机过程》学科对《概率论》早就阐明的随机现象数量关系及规律视而不见，却违背随机现象“个别结果不确定”的客观事实，凭空臆造出了与客观事实严重不符的随机现象数量关系及规律，导致《随机过程》理论建立在错误的基本假设上。《随机过程》在数学抽象过程中不仅违背函数、概率、正态分布等数学基本概念，而且更为搞笑的是，竟然会违背自身的随机过程定义，混淆样本函数与随机变量的区别，甚至在定义、推理或证明过程中出现了违反同一律和矛盾律的逻辑错误，建立的理论不仅与函数、概率、正态分布和随机过程等数学基本概念冲突，而且与经验事实严重不符，逻辑上不能自洽，是一门货真价实的“伪科学”。