本文介绍了物理学、精密仪器、金融工程三个学科分别观察到的布朗运动现象及相应的数学模型。《随机过程》布朗运动理论不仅与现实世界严重脱节，而且在建立布朗运动数学模型时竟出现了“张冠李戴”式的低级数学抽象错误，用刻画大量布朗粒子集体行为的正态分布来描述一个布朗粒子的个体行为，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。

一、物理学

1、大量布朗粒子空间位置服从正态分布

图1（a）为256个布朗粒子的三维运动轨迹，图1（b）、（c）和（d）分别为256个布朗粒子的位移在X、Y和Z方向上的投影。

图1 布朗粒子3D运动轨迹及投影

图2为1000个布朗粒子进行一维布朗运动的样本轨道，这1000个布朗粒子在t时刻的空间位置X(t)={x₁(t)，x₂(t)，…，x₁₀₀₀(t)}服从（0，σ²t）正态分布。

图2 布朗粒子样本轨道

图3为爱因斯坦布朗运动理论描述大量布朗粒子空间位置在不同时刻服从（0，σ²t）正态分布的概率密度分布函数曲线。

图3 布朗运动概率密度分布函数曲线

1908年，法国物理学家佩兰（Perrin）进行了一系列关于布朗运动的实验研究，直接通过显微镜观测了200个布朗微粒在不同时刻的位置分布，不仅实验证实了爱因斯坦布朗运动服从（0，σ²t）正态分布的结论，而且也精确求出了阿伏伽德罗常数（Avogadro constant），第一次用实验方法直接证实了原子的存在，平息了长久以来的“原子论”之争。凭借这项研究成果，佩兰获得了1926年的诺贝尔物理学奖。

2、单个布朗粒子瞬时速度测量结果

  由于布朗粒子受周围液体分子碰撞的频率约为10²¹次/秒，会导致单个微粒的瞬时速度变化太快，以至于100年前的技术手段根本无法测定单个布朗粒子的瞬时速度，因此，爱因斯坦在1907年曾预言：测定单个布朗粒子的瞬时速度是一件不可能完成的任务。

  2008年，美国得克萨斯大学的李统藏提出了用激光光镊技术在空气中测定布朗粒子瞬时速度的实验方法。由于空气的密度远远低于水，因此布朗粒子受空气分子碰撞的频率也要比液体中低很多，很有可能观测到微粒的瞬时速度。

2010年，李统藏成功地利用激光光镊技术首次实验测量了悬浮布朗粒子的瞬时速度（图4），完成了爱因斯坦在100多年前认为不可能完成的任务。

图4 布朗粒子瞬时速度测量实验及结果

李统藏的布朗粒子瞬时速度测量实验结果表明：布朗粒子的瞬时速度波形是均值为零，RMS（Root Mean Square）均方根为0.422mm/s的不相关白噪声。布朗粒子的瞬时速度（导数）不仅存在，而且可观测。

二、精密仪器

1.陀螺仪角度随机游走

陀螺仪是一种角速度传感器，可精确测量出载体（飞机、导弹、潜艇和宇宙飞船）的姿态角（俯仰角、横滚角和航向角）和角速度参数，为驾驶员或飞行控制系统提供载体的角运动数据，在航空、航海、航天、兵器及民用领域有着广泛应用。

陀螺仪的角位移输出是通过对角速度测量数据的积分获得的（图5）。

图5 陀螺仪角位移

  陀螺仪的角速度测量信号中通常包含有白噪声n(t)，白噪声n(t)通过积分器后的输出x(t)波形如图6所示，白噪声n(t)的积分x(t)通常被称为ARW（Angle Random Walk）角度随机游走。由于x(t)与一维布朗运动样本轨道相似，x(t)也被称为布朗噪声。

图6 陀螺仪ARW角度随机游走

由于x(t)会随时间的积累逐渐变大，因此陀螺仪的角度测量精度主要取决于白噪声积分后所产生的ARW角度随机游走误差。

在《IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Single-Axis Laser Gyros（IEEE 647-2006）》国际标准和中华人民共和国国家军用标准《光纤陀螺仪测试方法（GJB2426A-2004）》中，均对ARW角度随机游走进行了明确的定义：

ARW角度随机游走是陀螺仪角速度输出中白噪声积分（角度）随时间积累的不确定性（角度随机误差）。

    ARW角度随机游走的数学模型为

式中n(t)为平均功率为σ²的零均值不相关白噪声。

  虽然陀螺仪角速度信号中的白噪声平均功率是一个常数，但是陀螺仪在每次启动运行时，均会产生不同的ARW角度随机游走（图7）。

图7 陀螺仪ARW角度随机游走样本轨道

  假设陀螺仪角速度信号中的白噪声n(t)的平均功率为σ²，则图7中的所有样本轨道服从（0，σ²t）正态分布。

      由于ARW角度随机游走误差随着时间的积累会越来越大，已成为制约光纤陀螺仪，特别是MEMS微机械陀螺仪长航时角度测量精度的主要误差。为了减小ARW角度随机游走对角度测量精度的影响，有效可行的办法是采用时间序列分析技术对ARW角度随机游走误差建模，然后进行误差实时补偿。

2、超光滑表面微观轮廓

任何用肉眼看起来非常光滑平整的固体表面，如制造集成电路使用的硅片、激光反射镜和纳米薄膜的制备衬底等，若用表面粗糙度测量仪检测，都会得到一条与布朗粒子位移曲线相似的表面微观轮廓曲线。对表面轮廓测量数据进行微分处理，就可得到与白噪声波形类似的表面粗糙度轮廓曲线（图8）。

图8 光滑固体表面微观轮廓曲线

  因此，在宏观尺度下表现为直线的超光滑表面轮廓，在微观尺度下表现为与布朗粒子位移曲线相似的随机曲线。

三、《随机过程》数学抽象错误

从物理学和精密仪器两个学科观察到的布朗运动现象可以看出，现实世界的布朗运动具有如下两个运动规律：

（1）大量布朗粒子的空间位置服从正态分布，有

X(t)={x₁(t)，x₂(t)，…，x_n(t)}～N（0，σ²t）

  （2）单个布朗粒子的瞬时速度为零均值不相关白噪声，有

式中n(t)为平均功率为σ²的零均值不相关白噪声。

因此，假设x(0)=0，则单个布朗粒子在t时刻的位移为

但是，《随机过程》却张冠李戴，假设单个布朗粒子的位移服从正态分布，定义

x(t)～N（0，σ²t）

并由此推导出了布朗粒子瞬时速度无穷大或x(t)处处不可导的错误结论。

《随机过程》错误地将描述大量布朗粒子空间位置的（0，σ²t）正态分布用来描述一个布朗粒子在t时刻的位移x(t)，因而在推导其它布朗运动性质时，不得不用定义在样本空间Ω上的随机变量x(t)来替换时间函数x(t)，无形中将研究对象从一个布朗粒子改变为布朗粒子集合，建立的布朗运动理论不仅与经验事实不符，而且逻辑上不能自洽，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。

《随机过程》教科书用刻画大量布朗粒子集体行为的正态分布来描述一个布朗粒子的个体行为，就如同用描述大量分子热运动集体行为的温度来度量一个分子的动能一样荒谬。

四、金融数学和金融工程

图9为1998年12月-2021年12月的上证指数及其对数收益率（日），可以看出，上证指数的对数收益率（对数价格的瞬时速度）就是一典型的白噪声信号。

图9 上证指数及其对数收益率（日）

事实上，金融数学和金融工程领域众多学者的实证研究结果早就表明：股票价格的对数收益率为零均值不相关白噪声序列。

令人遗憾的是，金融数学和金融工程并没有依据“股票价格（对数）等于白噪声积分”的实证研究结果来研究股票价格的波动特性，而是根据《随机过程》布朗运动理论，假设股票价格服从对数正态分布，并用正态分布的标准差来度量股票价格的波动程度。

1970年，布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes）根据股票价格服从对数正态分布的假设，推导出了著名的B-S期权定价公式。由于B-S期权定价公式为股票、债券、货币、商品等金融衍生产品的定价提供了数学工具，B-S期权定价公式迅速被广泛应用于金融市场，直接导致了“第二次华尔街数学革命”，使金融市场获得了空前规模的发展。1997年，斯科尔斯因此获得了第二十九届诺贝尔经济学奖，布莱克不幸英年早逝，没有与斯科尔斯一起领奖。

将错误的数学模型和方法用于指导实践时，必然会导致“差之毫厘，失之千里”的严重错误。B-S期权定价公式在金融市场的大规模应用，竟成为直接导致 1987、1997 和 2007 年三次重大金融危机的罪魁祸首。被誉为“中国金融数学开创者”、获得2020未来科学大奖“数学与计算机科学奖”的彭实戈院士，在《中国基础研究发展报告（科技部基础研究司，2019）》第二章中国数学前沿进展中明确指出：B-S 期权定价理论是造成以前历次重大金融危机的关键性原因。

数学家史都华（Stewart）在《改变世界的17个方程》书中写道：B-S期权定价公式改变了世界，它不仅创造了一个金额难以估计的产业，而且也造成了人类历史上最大的金融体系崩溃。

畅销书《黑天鹅》作者塔勒布（Taleb）在2007年10月23日的《金融时报》上发表了题为“破坏市场的伪科学”专栏文章，对金融数学进行了严厉的批判。塔勒布在文章中指出：人们从一次又一次的金融危机中得出了“金融数学的有效性与占星术一样不靠谱”和“金融数学通过创造风险来危害金融系统”的结论。塔勒布痛斥金融数学是破坏市场的伪科学，金融数学理论获得诺贝尔奖不仅是对科学的侮辱，金融数学一直使金融体系面临崩溃的风险。

五、结论

应用数学是通过建立数学模型来理解、分析和解决自然科学、工程技术和社会科学中的实际问题所形成的数学方法和理论。《随机过程》对现实世界布朗运动现象及规律的理解出现了“张冠李戴”式的低级错误，竟然将描述大量布朗粒子集体行为的正态分布用来描述一个布朗粒子的个体行为，建立的《随机过程》布朗运动理论不仅与经验事实不符，而且逻辑上不能自洽，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。