[按：下文是群邮件的内容，标题是另拟的。本文的目的是提出问题、分享思考，而无意给出系统的回答。]

这会儿我想谈一点对数学的理解。

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最近对《几何原本》这个书名的中译提出异议。以前也注意到这一点，但没有深究。这本书没有 preface。实际上书名已经说明了它的思想/线索：Elements。（以下大多内容在单位的学院群里讲过。语气：平和地）。

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“Element” 本义是指 “不可分割的事物”。可以说，它指示了数学的一条大线索。如果没有在 Element 层面做出贡献，也许只能算作一般的学问家。能证明大猜想的人，可算作 “绝顶高手”，应该也会做出一些 element 层面的贡献。可以说，“Element” 是一切学问和艺术的大线索。 

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为了避免空洞，先分享一个我对数学中 “群” 的理解。背景：念大学的时候，老师在黑板上讲了群的概念和例子。我提出一个问题：群的定义我知道了，那么什么是群呢？老师一边在他的手上比划着，一边回答：g-r-o-u-p。除此以外什么也没说。后来也就 “环” 问过类似的问题（另一个老师）。不知道他们有没有想过这类问题，但我并不是唯一。就某些疑问而言，从未放弃 “追到头”。（不少在数学系念过抽象代数或近世代数的人不知道群和对称有何相干，也不知道群里头的元素究竟代表啥：数学系似乎有 “系统性的” 愚民传统？...）

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在 2008年做出点进展（不久后中断），那个时候意识到：所谓群是对一些相关的事物进行分组。也许这个理解更接近群的原始概念（待考），而且更加灵活。因为有一定的原始性，我希望按照原本的面貌写作，这需要花费时间。我的学术理想是 “照亮”：即把有意思的发现按照它在认知中发生的顺序来写。

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前不久，也许就是上一周，得到一个新的理解：群可以看作广义凸集：将群乘法看成元素间的 “相互作用”，相当于 “连线” 操作（两个点之间做连线也是一种相互作用）。换句话说，封闭性和凸性有相通之处。能这样看是因为 “相互作用” 是个更高的观点。

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注：老早以前注意到普朗克(?) 给爱因斯坦的一个回复 “...我宁愿从事物的相互作用中理解事物...”。前段时间思考 “理解” 的时候想起这句话，刚好又有个群的上下文，于是就有了上述理解。

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理解作为一种认知活动，总是包含 “指向” 的动作（头脑中），即指向已经认知的事物。终极的理解，大概是指向元素。数学中经常会做映射，目的是通过像来认识/理解原像。可以认为：数学是通过映射来实现理解的。映射体现和规定着像和原像之间的相互作用。通常把映射写作(以二元函数为例)：z = f (x,y)。其实也可以采用“运算”形式：z=xfy。x 和 y 根据法则 f 相互作用得到 z。当然，映射本身也是数学方法：集合看作 “方”，对应关系看作“法”。数学系的问题在于：经常会遇到映射，但很少真正 “做映射”。

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最初接触小波分析的时候，也曾就多分辨分析的定义提出疑问（那个映射有突兀感）。现在来看，分析中的定义大概总会包含某种映射。这样对于 “出现映射” 这件事就不会感到突兀了。当然，那个映射的构造仍然是一个谜（怎么想出来的?）。至于数学中的这类 “谜”，究竟是作者们看来很清楚，还是有意为之，就不得而知了。数学的武断之处在于：我们这么规定了，你们就这样接受！这样做有方便之处，但久之会引起疑惑和盲从。

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为了解决这种问题，我曾设想出一个办法（作者和期刊可以“赚钱”）：作者们可能出于某种原因保留了一些推导和考虑，这些内容时间长了作者们自己也会遗忘。与其这样，不如以加密的形式存储在期刊的网站上，而在文章中有“暗窍”的地方加入特定记号（收费链接）。当读者提出的 “需求” 达到一定的量时予以开放。关键点在于：需求以预付费的形式输入到系统中。具体操作如次（大意）：

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1. 第 1 个提出需求的读者付费  n 元。若作者不满意，链接保持关闭状态。

2. 第 k 个提出需求的读者付费 k·n 元。此时总的付费为 (1+2+...+k)n 元。假设作者满意。

3. 系统自动召集先前的付费读者平分费用：每人付费 (1+2+...+k)/k·n。

4. 若这些付费读者都同意，则对他们开放链接。

5. 付费读者可以获得可选的 “好处”（比如，显示他们的网页链接）。

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注：参与付费的读者每年存入一定数额的会员费，同时获得会员资格；付费就从会员费里扣。以上提出的是大意，操作细节上可以有很多推敲和增补。

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最近读了一篇散文，说的是小平邦彦通过誊抄学习数学的方法（大意）：把书上的内容誊抄到笔记上，经常看一看，在这个过程中，头脑中好像发生了什么，于是就理解了书中的内容。他这个办法有较大的操作性，但没有给出 “原理” 层面的解释，具体实践中可能会遇到心理障碍。（你得相信那里头一定有值得你花功夫的事情，尽管你尚不清楚那是什么。在完整地读完之前不能急于达成认知，但要相信最终能达成认知并得到“好处”）。

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数学文章中的那种写作方法：将事实和推理摆清楚，其它一切都是内蕴的。这样做有它的方便之处。如何理解数学事实，应该是个人的自由。只不过课堂上如果介绍一些行之有效的理解数学的方法，要比单纯地传授知识和技能更有意义。比如 “线段” 的概念似乎很普通，但如果赋予它 “法” 的内涵，就容易懂得凸集的定义为何是那个样子（线段扮演 “法度” 的角色）。

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为了引起最大的重视，可以认为线段和直角具有 “神性”。在比如，连通集也可以类似理解（折线具有松弛的神性）。引入“神” 的概念（非宗教意义），首先是为了建立一种美好的感情。至于追究 “神” 是否存在，则是庸人自扰。有了这个概念，学习和创作数学的活动可统一理解为 “接近和增添神性的光辉”。这样既增添了数学人的荣耀，也能形成一种切实的指引。

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数学分支创立起来之前，应该是从具体到一般（形而上），而走到一定程度会出现涉及集合和映射的元级定义（“主定义”），之后转换成演绎的过程。在那个“主定义”出现之前，应该已经建立了部分奠基内容。比如群论，不大可能一开始先给出群的定义，然后从里头生发出群论的全部内容。数学分支大概是起源于某个 “元问题” 的求解。

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大学里的高等代数和抽象代数既没有涉及代数基本定理的证明，也没有伽罗瓦理论，这是非常可笑且可悲的一件事情。好比做画家的从没见过名画，整天测量画笔的长度粗细或者摆放造型，与画画几乎没有关系。高中毕业，如果要做数学家的话，最好直接从誊抄最新菲奖论文开始，并且用逐层倒退的办法学习涉及到的 “基础”。可能会显得慢，但去处是非常清楚的，关键是学会 “积累的手艺”、提供积累的环境和条件。

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大学生从伽罗瓦理论开始学习，要比从微积分等开始有意义的多，也更加数学。可以作为领会真正数学的门径。微积分线性代数等也都很伟大，自学即可（学不了不必进入数学系）。总之：要按照数学家成长的需求和规律来建立和发展数学系。数学教材缺少灵魂，使得很多念数学的人更加愚笨，这是需要反思和改变的地方。在我看来，数学不是能够教会的，只能自行学习和领悟。

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以上都是个人的理解，不排除与他人的理解或有共识的地方，偏颇之处在所难免。