太阳是三角形还是圆形的？光是直线传播还是曲线传播呢？我们通过观察实验就知道了。物理命题我们可以通过观察来判断，但数学命题呢？比如任何一个直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们不能通过观察来确定，而需要证明。那是否对于任一个数学命题我们都能证明其正确还是错误呢？会不会存在某些正确的命题，而我们又无法证明它呢？

逻辑学家哥德尔证明了这样的命题确实是存在的。他构造了一个命题，这个命题及其否命题都无法证明。正命题和否命题，必然一个正确一个错误。由于两者都无法证明，所以说明存在着正确而又不能证明的命题。

哥德尔构造的命题是什么呢？他的证明比较复杂，技巧性很高，但思想比较简单。它和说谎者悖论有些类似。说谎者悖论是这样的：

我正在说谎。

那我是不是在说谎呢？如果我在说谎，而我又说自己在说谎，那我说的是真话，那我就不是在说谎。如果我不是在说谎，那我说的是真的，而我说的是自己在说谎，所以我在说谎。得出我既说谎又不说谎出现悖论。

有时也把“我正在说谎”这句话，换成“本语句是假的”，道理一样。

哥德尔构造的不可证明命题与之相似，但并不相同，因为“本语句是假的”这句话在数学中是无法构造出来的。在一些科普读物中，把哥德尔的命题理解为：“本语句不可证明。”

假设这句话是假的。而它说自己不可证明，所以实际上它是可证明的，而可以证明的一定是真的。所以它是真的，这与假设矛盾。所以这句话是真的。

从它是真的，并不会导致矛盾。

所以它是真的，而且不可证。

逻辑学家沈有鼎指出，和说谎者悖论一样，从“本语句不可证”能导出矛盾。

假设这句话是可证的。而可以证明的命题都是真的，而它说自己是不可证的，所以它是不可证的，这与假设相矛盾。所以它是不可证的。而它说自己不可证，这样我们就证明了它。所以这句话既是可证又是不可证的。

所以把哥德尔构造的句子通俗解释为“本语句不可证”并不准确。而应理解为“本语句在皮亚诺算术系统中不可证”。

和前面一样，假设它是可证的，可导出矛盾，所以它是不可证的。但这不能算是在皮亚诺算术系统中证明了这句话是不可证的。从而没有悖论。

但“本语句在皮亚诺算术系统中不可证”这句话并不那么通俗，比如什么是皮亚诺算术系统呢，什么才算是证明？所以某些科普牺牲了严谨性，采用了更容易理解的解读。