自指

本语句由汉字组成。本语句由字母组成。这两句话都涉及自指，前面一句话真，后面一句话假。

本语句是假的。这句话真还是假呢？从它真可以推出它是假的，从它是假可推出它是真。所以不管它是真是假，都导出矛盾。

上面的讨论看起来只是语言游戏，与数学无关。因为这些语句都涉及自指，而数学似乎不存在这样的问题。80多年前，逻辑学家哥德尔发明了一种技术，使得数学也能出现自指。

哥德尔是通过对数学表达式取名实现自指的。通过一个简单的例子来阐述他的思想。

L：L是假的

冒号左边的L表示“L是假的”这句话的名字是L。所以这句话也出现了自指，和“本语句是假的”是同一个意思。

编码

     这里介绍哥德尔给数学符号和命题取名字的方法。他考虑的是算术系统。哥德尔设计了一种编码方法，给每个数学符号和数学表达式分配一个唯一的号码，这个号码是一个自然数。而一个号码最多只能对应一个符号或表达式，也有可能不是编码。通过他的方法，还可以给数学证明编码，因为数学证明实际上是表达式的序列。

给出一个表达式，我们能算出它的编码，反过来，给出编码我们也能求出表达式。而这些编码就是我们所说的名字。

给定编码方法后，表达式的名字是确定的，而不是像前面日常语言的例子那样，可以随意规定名字。为了方便，还是通过日常语言例子类比来说明数学上的自指。

     ____由汉字组成。

把M填入空格，得到这句话：M由汉字组成。这句话的名字究竟是M、N还是别的什么东西呢，这不是由我们随意规定的，而是通过计算确定的。  

如果我们能找到某个名字填到空格，使得这句完整的话的名字刚好就是我们填上的名字，我们就说这句话是自指的。

自指定理

在数学上能实现自指吗？或者问，对于任意一种数学性质Φ，是否存在某个数t，使得Φ(t)的编码是t。

答案是肯定的。我们通过如下方法构造t。

先引入函数S(x, y)。

举例说明S(m, n)是什么意思。m是某个表达式的编码，比如A(x)，而A(x)只有一个自由变元x。将n代入A(x)得A(n)，A(n)的编码就是S(m, n)的函数值。

将s(x, x)代入Φ(x)得Φ(s(x, x))。设Φ(s(x, x))的编码为p，将p代入Φ(s(x, x))得Φ(s(p, p))。可得到，s(p, p)正好是Φ(s(p, p))的编码。

所以s(p, p)就是我们要找的t。

 自指定理的具体表述是这样的：

 对任意含有唯一自由变元的公式Φ(x)，存在ψ，使得ψ ↔ Φ(‘ψ’)是定理，其中‘ψ’是ψ的哥德尔编码。

 从上面的讨论可得，Ψ就是Φ(s(p,p))

（因为Φ(s(p,p)) ↔ Φ(s(p,p))，s(p,p)=‘Φ(s(p,p))’，所以Φ(s(p,p))↔Φ(‘Φ(s(p,p))’）。

说明

1、上面并非对自指定理严格的证明，只是对其思路的大概说明。在证明中，涉及到形式语言，语法和语义等不同的概念，上面并没有严格区分这些。

2、上面说的数学性质Φ，Φ是类似于___>3这样的式子。把某个数，比如5代入Φ得，5 > 3。有些Φ比较复杂，它可理解成“是定理”这一类关于数学命题的性质。

3、既然数学可以实现自指，那么“本语句是假的”这句话是否会出现在数学中。答案是不能，因为假这概念无法在数学中定义。这是塔斯基定理的内容。

4、有人把“L：L是假的”误解成“L = L是假的”，从而感到困惑，因为左边是L，而右边是L是假的，比左边多三个字，怎么可能相等呢。

两者确实不相等，左边是右边的名字，就像你和你的名字不相等一样。如果确实要用等号，应该这样理解：

L是假的=L是假的

所以

L是假的=“L是假的”是假的

这里用“L是假的”表示L是假的这句话的名字，它是一个整体，不能理解成比L是假的还多一个双引号。