1、

我们给事物取名字，只是为了方便，具体取什么名字是无所谓的。我们实际上可以直接用数字给每个人命名，身份证号码就是这样。

哥德尔在证明不完全性定理的时候，给数学符号数学命题都分配了号码，这就是它们的名字。此外，命题的序列也分配了号码。命题序列是指按顺序排列的若干个命题。

数学证明可以理解为数学命题的序列。比如要证明平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)

证明如下：

(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)

a(a-b)+b(a-b)=a²-ab+ba-b²

a²-ab+ba-b²=a²-b²

(a+b)(a-b)= a²-b²

这个证明就是命题序列。哥德尔的编码方法既给命题分配了号码，也给作为命题序列的证明分配了号码。

2、

光是取个名字，是没有多大作用的。但在这里名字不仅仅起指代作用。由于这里的名字是数字，所以名字也能构成数学命题。哥德尔证明了，某些命题的性质或它们之间的关系可通过它们的名字构成的命题来表达。

下面通过举例来说明。

a=b，a≠b互为否命题。a=b的编码为100，a≠b的编码为150。式子60(x+y)=x*y表示否命题关系。把100和150代入这个等式，等式成立，表示它们确实是否命题关系。如果不成立，则不是否命题关系。

（上面的编码和式子是为了方便随便举的例子，否命题关系并不是真的由等式60(x+y)=x*y表达。另外，60(x+y)=x*y严格应该写成∀x∀y(60(x+y)=x*y)）。

准确地说，如果命题之间的二元关系R可表达，则存在公式j (x,y)：

若R(a,b)成立，则j(a,b)是定理

若R(a,b)不成立，则﹁j(a,b)是定理

在上面的例子里，R是指否命题关系。

这里说的是二元关系，其他类型关系的表达与此类似。

3、

这里利用上面的知识在数学上来证明“本命题不可证”是不可证的。

哥德尔证明了，证明关系可以表达。即存在命题Pf(x,y)（这里的Pf(x,y)是某个具体的数学命题的缩写），当某个命题的名字为m，而名字为n的命题序列是m的证明时，则可以证明Pf(m,n)成立。当n不是m的证明时，则可证明﹁pf(m,n)成立。﹁Pf(m,n)即并非Pf(m,n)。

所以，“本命题不可证”可表达成，﹁∃y Pf(s(m,m),y)。即并非存在一个y，使得名字为y的命题序列，是函数s(m,m)的值所对应的命题的证明。这里，﹁∃yPf(s(m,m),y)的编码刚好也是s(m,m)。

（函数s(m,m)是什么意思， “本命题不可证”为什么用﹁∃yPf(s(m,m),y)表示，可参看哥德尔自指定理http://blog.sciencenet.cn/blog-1255140-1029303.html）

如果它是可证的，﹁∃y Pf(s(m,m),y)是定理。设这个证明的哥德尔编码为n，由于被证明命题的编码是s(m,m)，所以Pf(s(m,m),n)成立。因为关系Pf可以表达，所以Pf(s(m,m),n)是定理，所以∃y Pf(s(m,m),y)是定理。矛盾。所以﹁∃y Pf(s(m,m),y)是不可证的。