2023年，国际复杂系统研究领域的学者们发起了一个新的议题《热力学2.0》[1]，其目的是希望找到一个广义的热力学理论体系，它不仅可以描述物理系统也可以描述有生命的社会系统。具体可见英国皇家学会期刊Philosophical Transactions A的特刊专题[1]：Thermodynamics 2.0: Bridging the natural and social sciences

复杂系统同行们的这个议题恰好与我自己的兴趣相符，因为我的研究兴趣之一就是希望发展一个广义的热力学体系[2-13]，从而可以描述社会系统，经过十多年的努力，随着我的收官之作[14]在Journal of Physics: Complexity发表，我最终完成了这个研究的基本理论框架。

我的基本研究思路是推广玻尔兹曼统计物理框架，这个推广必须是自然的，并且可以将玻尔兹曼的理论框架作为它的特例。

为了做到这一点，我们必须从更加一般的数学视角来研究玻尔兹曼的理论，对此，我首先放弃了“配分函数”的观念。收官论文[14]详细介绍了我的基本思想，下面我简单介绍一下论文[14]中所总结的方法。

玻尔兹曼理论的出发点是指数函数分布，这也被称为“玻尔兹曼分布”。

下面我不再区分“粒子”和“人”，统一将其称作“个体”。其中，粒子携带“能量”，人则携带“收入”。

假如个体（粒子或者人）的分布函数（能量或者收入）服从指数函数分布：

其中 epsilon_j代表能级水平或者收入水平，a_j 代表epsilon_j 水平上的个体（粒子或者人）数量。

    对于经济系统的收入分布为什么服从指数函数分布，可见我与合作者的实证研究，比如[7]。

如此一来，个体的总数N和总能量（或者总收入GDP）Y的表达式为

从方程（1）得到方程（2）大家都很容易理解，统计物理学家则是利用方程（2）得到了Y 和N的微分方程，为了得到这个方程，他们使用了“配分函数”的技巧。

我的不同之处则是直接使用数学分析技巧找到Y 和N所满足的微分方程：

方程（3）中出现了一个新的变量，我们记为

在统计物理教材上，方程（4）是用配分函数的形式来表达的，它被称作“熵”，但是由于“配分函数”的使用，玻尔兹曼理论框架下的熵表达式不是广延的，并且其数学形式与我得到的方程（4）有些不同。

2023年的时候，湖南大学的刘全慧教授在他的博客中贴出一篇文章《2023年度最佳问题：一种不直接使用配分函数的玻尔兹曼统计理论》，他与自己的学生在2023年也发现了方程（4）的熵表达式。当然，刘老师的方法本质上还是基于统计物理方法，他们并没有探讨其中的数学结构。

那么，我的工作的核心点在哪里呢？

就在于如果方程（3）代表了Y的全微分，其中N和T是两个独立变量，那么一定存在下面的等式

了解全微分的读者朋友，仔细看看方程（3）是不是这么回事？

是的，方程（5）就是方程（3）为 Y 的全微分表达式的数学闭环。没有方程（5），直接说方程（3）是全微分在数学上是不严谨的。

好了，接下来我要干什么呢？将方程（5）代入方程（4）消去alpha和beta，从而得到一个独特的偏微分方程：

偏微分方程（6）描述了比玻尔兹曼理论更加广义的数学结构，它由指数函数分布所导致。换句话说，只要研究对象的分布服从指数函数的形式，那么它就同样满足偏微分方程（6）。不管研究对象是“原子”也好，还是“人”也好，都一样，只要这个研究对象的分布服从指数函数。

那么如何能够知道玻尔兹曼理论是偏微分方程（6）所描述的特殊情况呢？

为了意识到这一点，我们只需要知道偏微分方程（6）有许多的解，各个解依赖于不同的边界条件。

玻尔兹曼的理论本质上只是在研究偏微分方程（6）的其中一个解：

读者朋友很容易验证方程（7）是方程（6）的解，其中b_0代表常数。

为了看到方程（7）的本来面目，不妨把它写为微分形式：

对于熟悉热力学的读者朋友而言，这下是不是很好辨认了？

Y是内能，b_0是温度，N是粒子数，S=T+NlnN就是克劳修斯熵，反过来T=S-NlnN就是带有吉布斯项NlnN=lnN!的广延熵。

换句话说，偏微分方程（6）的其中一个解给出了热力学第二定律的数学表达形式，并且其熵自然是广延的。

但是方程（7）毕竟只是偏微分方程（6）的其中一个解，方程（6）还有其他的解。下面我写出偏微分方程（6）的另外一个解：

其中a_0和gamma都代表常数。

容易验证方程（9）也是偏微分方程（6）的解，只不过这个解现在被我用来描述经济系统[14]，其中Y代表GDP（总收入）、N代表人口总数、T代表社会的信息存量。

方程(9)作为偏微分方程（6）的解的独特之处在于它可以保证下面的偏导数存在解（对任意的N>0）：

可以很容易验证方程解（7）是不能保证方程（10）对任意N>0有解的。

那么方程（10）代表什么意思呢？它代表的是系统内的N个个体可以实现竞争均衡[12, 14]，这是一种纳什均衡，通俗来讲就是对于彼此的决策达成一致的共识或者妥协，这是人类社会系统中人与人之间互动的关键特征。

但是对于物理系统中无生命的粒子而言，它们并不需要达成共识或者妥协，因为它们不像人，没有自我意识，从而也就没有个体偏好以及偏好所带来的竞争欲望。

从这个意义来看，竞争均衡的存在就是人类社会区别于无生命的物理系统的关键差别。

当然，上面只是简单的介绍了一些基本概念，想了解更加详细的内容（比如T为什么就是熵或者信息存量）可以直接阅读论文[14]:

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2632-072X/ad5822

在后续的博文中我会介绍方程（9）的具体应用。

参考文献：

[1]. Poudel, R. (2023): Thermodynamics 2.0: Bridging the natural and social sciences. Phil. Trans. R. Soc. A 381, 20220275

[2]. Tao, Y. (2010): Competitive market for multiple firms and economic crisis. Physical Review E 82, 036118

[3]. Tao, Y. and Chen, X. (2012): Statistical Physics of Economic Systems: a Survey for Open Economies. Chinese Physics Letters 29, 058901

[4]. Tao, Y. (2015): Universal Laws of Human Society’s Income Distribution. Physica A 435, 89-94

[5]. Tao, Y. (2016): Spontaneous economic order. Journal of Evolutionary Economics 26, 467-500

[6]. Tao, Y. (2018): Swarm intelligence in humans: A perspective of emergent evolution. Physica A 502, 436-446

[7]. Tao, Y., Wu, X., Zhou, T., Yan, W., Huang, Y., Yu, H., Mondal, B., and Yakovenko, V. M. (2019): Exponential structure of income inequality: evidence from 67 countries. Journal of Economic Interaction and Coordination 14, 345-376

[8]. Tao, Y. (2020): Self-referential Boltzmann machine. Physica A 545, 123775

[9]. Tao, Y., Sornette, D., and Lin, L. (2021): Emerging social brain: a collective self-motivated Boltzmann machine. Chaos, Solitons & Fractals 143, 110543

[10]. Tao, Y. (2021): Life as a self-referential deep learning system: A quantum-like Boltzmann machine model. Biosystems 204, 104394

[11]. Tao, Y. (2021): Boltzmann-like income distribution in low and middle income classes: Evidence from the United Kingdom. Physica A 578, 126114

[12]. Tao, Y., Lin, L., Wang, H., Hou, C. (2023): Superlinear growth and the fossil fuel energy sustainability dilemma: Evidence from six continents. Structural Change and Economic Dynamics 66, 39-51

[13]. Tao, Y. (2024): Generalized Pareto Distribution and Income Inequality: An extension of Gibrat’s law. AIMS Mathematics 9, 15060-15075

[14]. Tao, Y. (2024): From Malthusian Stagnation to Modern Economic Growth: A swarm-intelligence perspective. Journal of Physics: Complexity 5, 025028