（1）无量纲化处理。有关管、杆、柱方面的研究中，在基于牛顿力学或分析力学得到梁的动力学方程后，基本上所有的文献都会对方程进行无量纲化处理。无量纲化处理是为便于求解微分方程。然而这个处理的过程究竟是如何进行的我却一直没弄懂。最近看了谈庆明老师的《量纲分析》，然而看完后对这些微分方程的无量纲化仍然不会。而且按谈老师书上说的是力学问题取三个独立量纲，但大多数论文里好像又不是这样。因此，我想请教您无量纲处理到底如何选取变量，处理过程又如何进行？

回答：

量纲分析是专门学问，但动力学方程的无量纲化没有那么复杂。比较彻底的做法，就是时间和空间坐标进行线性变换，x<-->ax,t<-->bt，然后用新的坐标表述原来的方程，做除法让最高阶导数项系数为1，再选取a和b的值，使得方程中有另外两个系数为1. 对于非线性方程常这样处理。但对于线性方程，空间变量的线性变换意义不大，变换系数在方程中约去了。因此时间变量也不变换了，引入系统无阻尼的频率，然后用阻尼比和频率表示各项系数。

（2）Galerkin截断法。查阅了多本振动方面的教材，有的没有伽辽金法方面的内容，有的有少量关于伽辽金法的内容。但关于伽辽金截断法却很少见，我看您发表的关于这方面的学术论文，但由于我没掌握这种方法，无法理解文中的要义，请问学习伽辽金法和伽辽金截断法应该查阅什么教材？

回答

Galerkin方法是加权残数法的一种特殊形式。刘延柱教授等《振动力学(第2版)》第8章第4节有叙述。这里仅摘录部分不用公式的内容。

加权残数法是另一种函数展开方法，它将方程的解设为满足边界条件的假设模态函数的线性组合。从而使模态函数的常微分方程转化为待定系数的代数方程，或者将描述振动的偏微分方程转化为广义坐标的的常微分方程。所谓残数，是指方程解的误差，即将解代入方程后两端之差。方程精确解的残数为零，近似解的残数要求接近于零。加权残数法通过权函数的引入，要求残数在连续系统所在区域中的加权平均值为零。转化为广义坐标的常微分方程组和相应的本征值问题。加权残数法不局限于线性振动范围，也可用于使非线性偏微分方程离散为非线性常微分方程。

本章叙述的里茨法、假设模态法和加权残数法是基于函数展开的3种近似方法。其中求瑞利商驻值的里茨法基于系统的能量守恒，仅适用于保守系统。假设模态法基于与能量相关的力学原理(拉格朗日方程或哈密尔顿原理) 建立离散化的动力学方程，而不受保守系统的限制。加权残数法基于模态函数的微分方程或动力学方程，也不限于保守系统。从计算结果看：里茨法只能近似计算固有频率和模态函数，假设模态法通过动力学方程的本征值问题导出固有频率和模态函数。加权残数法则直接求解固有频率和模态函数。假设模态法和加权残数法均能计算系统的响应。从适用范围看，里茨法仅适用于线性保守系统，而假设模态法和加权残数法也适用于非线性系统。假设模态法适用的系统必须能用动能描述，而加权残数法原则上可以分析任何已具备动力学方程的系统。从对试函数的要求看，里茨法和假设模态法仅要求试函数满足几何边界条件，而加权残数法要求试函数满足所有边界条件。

需要说明的是，与里茨法中试函数仅要求满足几何边界条件不同，加权残数法中的试函数必须满足所有边界条件。因为§8.2.3中已证明，瑞利商取驻值的函数同时满足微分方程和边界条件。即使是近似的驻值，所对应的模态函数也必然改善了试函数对微分方程和边界条件的满足程度。而加权残数法只是近似求解模态函数的微分方程，因此首先要通过恰当的试函数来保证使边界条件满足。

加权残数法最广泛采用的形式为伽辽金(Galerkin)法。在伽辽金法中，权函数就取为试函数本身。

（3）模态函数的实部和虚部。有些文献中得到了所研究系统的模态函数，就比如轴向运动梁的模态函数，有些文献分别对实部和虚部作图，这样做的目的是想研究什么？所得到的某一阶模态函数的实部和虚部分别有什么物理意义？

回答

引入复数模态函数是为了对原来的方程进行解耦，从而能导出对任意激励的响应的级数表达式。模态函数实部和虚部的物理意义我们不太清楚，一直理解为求响应中间步骤的产物，因此本身没有物理意义。当然，也许是有物理意义，我们还不知道。