[按：下文是邮件笔记的内容，标题是原有的。]

有意义的方程都是特殊的...

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之前提到多项式方程 y^NP(1-y) + (1-y)^NP(y) =1，其中 P(y)≥0，y∈[0, 1]。解出此方程涉及到两个组合引理，最近在笔记中做了验证式推导。奇怪的是，作者在这个地方没有给出任何参考文献或任何启发来源。一般来说，总会有相关的启发来源。为此，向人工智能提出问题 (列出上述方程并指示它"谈谈")。

chatGPT-3.5 首先认为此方程与二项分布有关。再次发问，并强调 P(·)是多项式。此时它提到 "这种形式通常与概率分布或组合数学有关"。我进一步强调与概率无关。此时它先是把方程描述了一番，又提出此形式在 "逼近或解析数学中可能会出现"，并提出要在上下文中确定。我又转向百度的 "文心一言"，列出方程并限定 P(·) 是多项式、与概率无关。"文心一言" 列出了二项分布的公式，做了一些推导，有点像但并未真正解出方程。(像的两点：一是设出 N 阶多项式 P(y) =∑_k=0,Na_ky^k；二是用组合数 C ^k_N 作为 a_k）

回顾以上互动，终于认识到启发很可能来源于二项分布。特别是，P(y)≥0 和 y∈[0, 1] 的条件与概率兼容：把 y 看作事件A发生的概率，1-y看作事件A不发生的概率。在摸索之前，把那两个组合引理列出来是公平的，因为在做摸索的时候已经做了验证式推导。

引理 4.3. ∑_j=0,kC ^j_n+j = C ^k_n+k+1.

引理 4.4. ∑_j=0,nC ^j_n+j[y ^j(1-y)ⁿ⁺¹ + yⁿ⁺¹(1-y) ^j] = 1.

写出并证明引理后，Daubechies 变出了魔术：N-1 阶多项式 P_N(y) = ∑_j=0,N-1C ^j_N-1+j y ^j 是开头那个多项式方程的解。(此处再次强调，前述多项式方程 不是 求多项式的根，而是找出满足那个关系式的多项式本身。呐，就是要确定多项式的系数)。上述引理的证明有一定技巧，但不超出高中数学。困难在于没办法知道作者当年是如何得到引理本身。

现在写出二项分布公式：P{X = j} = C ^j_ny ^j(1-y)^n-j.  对照原方程， 考虑 P(y)  的 y ^j 项，会出现 y^N(1-y) ^j  这样的形式。按二项分布考虑，相当于试验次数 n = N + j。于是二项分布变成 C ^j_N+jy ^j(1-y)^N。这跟引理中的形式有点像了。必须强调，作者摸索的时候，引理的陈述还没有形成，应该是在摸索的过程中形成的。  现在设 P_N(y) = ∑_j=0,N-1 a_j y ^j，代入原方程，得  y^N∑_j=0,N-1 a_j (1-y) ^j + (1-y)^N∑_j=0,N-1 a_j y ^j =1，整理得 ——

∑_j=0,N-1 a_j [(1-y) ^j y^N+ (1-y)^N y ^j] = 1.

上述形式与引理4.4很接近了，只要确定 a_j 即可。早先作者提到用“猜”的办法，可能就是猜出 a_j 与二项组合系数有关。恰好，N + j 次的二项分布为 C ^j_N+jy ^j(1-y)^N，于是可以猜测 a_j = C ^j_N+j。代入验证，发现需要修改为 a_j = C ^j_N-1+j。修改是可以预期的，因为二项分布求和为 1 的通项里只有一项，而此处的通项里包含了互补的两项。猜出正确的系数后，就能提出引理4.4了，而引理 4.3 是证明后者时分离出来的。

最后要注意的一点是，P_N(y) 设置为 N - 1 阶多项式而不是 N 阶，可能也是试出来的。在整个猜测和试验的过程中，也可能取过具体的 N，比如 N = 1 或 2，以便快速排错，而不是计算整个公式。

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参考资料

m0之谜与特异形态 2024/6/9

小波分析是高中数学 2024/5/17