“悖论”是英文paradox一词的意译，从字面上讲就是荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了逻辑悖论的定义：如果某一理论的公理看上去是真实的，它的推理规则也是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个逻辑悖论。

逻辑悖论是推动数学学科取得创新发展的强大内在动力。“毕达哥拉斯悖论”、“贝克莱悖论”和“罗素悖论”分别引起了数学史上的三次重大数学危机，也分别导致了数学史上的三次重大数学突破。

一、《随机过程》布朗运动定义

设X(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移，X(0)=0，定义

（1）X(t)为平稳独立增量过程；

（2）X(t)～N(0，σ² t)，其中σ>0为常数；

（3）X(t)是t的连续函数。

则称X(t)是参数为σ²的布朗运动或维纳过程。

二、《随机过程》布朗运动常返性

若X(t)是一维布朗运动，则X(t)是常返的，即

P[X(t)=0，i.o.]=1

表示时间t充分大时，从原点出发的布朗粒子返回原点无穷多次的概率等于1。

三、《随机过程》布朗运动常返性逻辑悖论

根据布朗运动定义，X(t)在t时刻的方差为

D[X(t)]=σ² t，   t >0 时，D[X(t)]≠0

由布朗运动常返性，存在任意大的时刻t >0，使得X(t)=0，根据《概率论》常数的方差等于零性质，因此有

t >0 时，D[X(t)]=D[0]=0

      显然，根据布朗运动常返性得出的方差与布朗运动定义互相矛盾。

四、结论

科学理论是具有一定逻辑结构的理论体系，必然要求理论内部在逻辑上自洽，不能出现自相矛盾的逻辑悖论。逻辑完备性是判断科学理论真伪的重要评价标准之一，一旦在某个科学理论中发现了逻辑悖论，则表明该理论的逻辑完备性遭到破坏，该理论被证伪。爱因斯坦曾经说过：“相对论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性。从它推出的许多结论中，只要有一个被证明是错误的，它就必须被抛弃；要对它进行修改而不摧毁其整个结构，那似乎是不可能的。”

参考：

布朗运动理论中的反常问题及原因分析（预印本）