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一、科学理论的真伪检验方法
科学理论是反映人类对自然界本质特征及规律的系统化知识体系,是由一系列概念、判断和推理组成的逻辑系统。因此科学理论具有以下两个基本特征:
一是内容上的客观真理性。客观真理性是科学理论最本质的特征,它要求科学理论必须正确地反映客观事物的本质及其规律性,从科学理论推出的可检验结论应该与经验事实相符。
二是结构上的逻辑完备性。科学理论是具有一定逻辑结构的理论体系,必然要求科学理论内部必须在逻辑上自洽,不应出现自相矛盾的逻辑悖论。
因此,判断科学理论的真伪,就有两个行之有效的检验方法或标准:一是实验检验,通过实验方法来判断科学理论的前提或结论是否与经验事实一致;二是逻辑检验,通过推理方式来判断科学理论内部是否出现自相矛盾的逻辑悖论。
在近代科学初期,伽利略就是利用实验检验和逻辑检验这两种方法,推翻了被人们信奉为真理的亚里士多德“力学理论”。
一旦某个科学理论出现了“理论与经验事实不符”和“逻辑上不能自洽”等反常问题,则表明该理论被证伪,该理论深层中必然隐藏着重大科学问题,预示该理论将面临库恩在《科学革命的结构》书中所描写的重大范式转换,原有理论将会被新理论所取代。
二、随机游走及正态分布性质
若质点在水平直线上每隔时间∆t随机地向左或向右移动单位距离,则称质点运动为简单对称随机游走。
设X(n)为质点在t=n∆t时刻或第n步时的位移,《随机过程》教科书将X(n)假设为随机变量,并定义X(n)为独立同分布随机变量之和,因此根据中心极限定理,X(n)服从均值为零和方差为n的正态分布,即X(n)~N(0,n)。
图1为连续抛投10000次硬币时获得的一条随机游走位移曲线(n=10000步)。
图1 随机游走位移曲线
二、正态分布性质与客观事实不符:
正态分布的概率密度函数曲线呈钟形(图2),因此随机游走的质点位移观测值应具有如下两个重要的特征:
(1)对称性。绝对值相等的正、负位移观测值出现的次数大致相等。
(2)集中性。大多数位移观测值聚集在均值附近。
图2 正态分布概率密度函数曲线
观察并分析图1所示的随机游走位移曲线,实际位移观测值并不存在正态分布的对称性,而且大部分位移观测值远离均值(原点),根本不具有正态分布的集中性,因此,随机游走正态分布性质与客观事实完全不符。
从信号分析的角度看,均值表示信号中直流分量的大小,方差表示信号中交流分量的平均功率或波动范围。
如果X(n)~N(0,n),则随机游走位移曲线应该是一条直流分量为零、交流分量平均功率与时间成正比的高斯噪声信号波形(图3),高斯噪声显然具有正态分布的对称性和集中性。
图3 随机游走位移仿真曲线
事实上,实际的随机游走位移曲线(图1)是一条直流分量(均值)与时间成正比、交流分量平均功率平稳的信号波形,不服从均值为零和方差为n的正态分布。
三、常返性逻辑悖论:
由随机游走X(n)~N(0,n)的性质,可知X(n)的方差
D[X(n)]= n
表明n≥1时,D[X(n)]≠0。
波利亚(Polya)随机游走定理证明:一维和二维简单随机游走是常返的。表明n充分大时,从原点出发的随机游走质点返回原点无穷多次的概率等于1,即
P[X(n)=0,i.o.]=1
因此有
P[D[X(n)]=0,i.o.]=1
即n充分大时,D[X(n)]=0发生无穷多次的概率也等于1,与n≥1时,D[X(n)]≠0的性质相互矛盾。
《随机过程》随机游走理论出现逻辑悖论,表明该理论的逻辑完备性遭到破坏,理论内部存在重大科学问题(概念错误或逻辑错误)。
四、反常问题原因分析
随机游走在第n步时的位移X(n)是时间t=n∆t的函数,随机游走定义用随机变量的性质来定义时间函数的性质,违反了逻辑思维的同一律和矛盾律,从而出现了理论与经验事实不符和逻辑上不能自洽(逻辑悖论)等反常问题。
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