若质点在水平直线上每隔时间∆t随机地向左或向右移动单位距离，则称质点运动为简单对称随机游走。

设X(n)为质点在t=n∆t时刻或第n步时的位移，那么X(n)与时间t（或步数n）之间的数量关系应该被抽象为时间函数还是随机变量？

这个问题对《随机过程》学科来说，就相当于天文学历史上的日新说与地心说之争，最终会改变人类认识客观世界的思维方式。

一、随机过程、样本函数和随机变量三者之间的关系

从数学角度看，随机过程是定义在Ω×T上的二元函数X(ω,t)；从物理学角度看，所有质点（粒子）的运动过程构成了随机过程X(ω,t)，样本点ω对应于不同的质点。

图1给出了三个随机运动的质点位移曲线，下面分析随机过程X(ω,t)在四种不同情况下的含义：

（1）固定t，X(ω,t)是样本点ω的函数，称为随机变量，记为X(t)。所有质点在t时刻的位置{x₁(t)，x₂(t)，…，x_n(t)}就是随机变量X(t)的状态，随机变量X(t)是描述所有质点在t时刻空间位置分布规律的数学结构；

（2）固定ω，X(ω,t)是时间t的函数，称为样本函数或样本轨道，记为x(t)。一个样本函数x(t)对应着一个质点的位移在不同时刻的“观测结果”。

（3）固定ω，固定t，X(ω,t)是一个实数，表示某个质点在t时刻的位移观测值。

（4）当ω和t均变化时，X(ω,t)就形成图1所示的一族样本函数，所有这些样本函数的总体就构成了随机过程X(ω,t)。

图1 随机变量与样本函数的关系

表1给出了样本函数与随机变量的区别，样本函数（时间函数）用来描述单个质点的位移随时间变化过程，随机变量则用来描述所有质点在某一时刻的空间位置分布状态。

表1 样本函数与随机变量

二、随机游走定义的数学抽象错误

随机游走定义的研究对象为一个质点在t=n∆t时刻或第n步时的位移X(n)，观察质点位移X(n)随时间t=n∆t的变化过程（图2），在每一个确定的时刻t=n∆t，都有唯一一个确定的质点位置X(n)与时间t=n∆t “一一对应”，因此，随机游走的质点位移X(n)与时间t之间的数量关系无疑为函数关系。

图2 随机游走位移曲线

根据随机过程X(ω,t)的定义及四种情况，单个质点在t时刻的位移X(n)就是固定样本点ω时的随机过程X(ω,t)，亦即样本函数或样本轨道（时间t的函数）。

但是，《随机过程》教科书却将一个质点在t=n∆t时刻或第n步时的位移X(n)抽象为随机变量，不仅彻底改变了样本函数和随机变量的内涵与外延，而且无形中改变了样本函数X(n)的定义域和值域，将研究对象从单个质点改变为质点集合，因而只能用刻画大量质点集体行为的统计规律来描述单个质点的个体行为，得出的结论必然与经验事实不符，逻辑上不能自洽。

三、结论

与其它学科相比，数学具有高度的抽象性、严谨的逻辑性和广泛的使用性。高度的抽象性是指把实际问题或研究对象中的数量关系与空间形式，提炼为由数学概念和数学符号表示的数学结构或数学模型。如果在抽象环节出现“混淆概念”的逻辑错误，则建立的数学理论就像基础不牢的高楼大厦一样，迟早会发生地动山摇般的坍塌。