塔斯基的理论成功地应用在表达数学和计算机程序的形式语言中。这些语言的功能比较简单，通过元语言与对象语言可以清晰严谨地分层描述。塔斯基是数理逻辑模型论开创者之一，用严谨的数理逻辑建立起语义真理论。他的真语句集不可定义性定理和判定性问题的研究，在数学、哲学、语言学上意义重大。他对语义悖论的层次结构解决方案，从1933年起主导了这个领域，一直到1975年Kripke发表了影响深远的著名论文“Outline of a Theory of Truth”才遇到了真正的挑战【1】。

明确的语言层次结构虽然规避了自我指涉的语义悖论，很成功用在形式语言中，但对于要求有更丰富表达能力的日常语言显然是不自然和不完备的。例如它要求不能在有关联的同一个段落（context）中说“雪是白的”和“‘雪是白的’是真的”，因为它们属于不同层次的语言。在塔斯基理论里，每一个层次语言中都定义了自己“真”的概念，高层语言包含着低层语言所有的元素，它就包含有下面各个层次不同的“真”谓词，当我们说起“真”的时候必须分清它是属于哪一个层次的。判断语句到底属于哪一个层次，这也会成为一个问题。例如，迪恩说：“尼克松说的所有关于水门事件的话都是假的。”尼克松反咬一口：“迪恩说的所有关于水门事件的话都是假的。”因为这两个语句都有评判对方语句的功能，若依评判者而定，它们不能在同一个层次，评判句子要比被评判的句子高一个层次，但是它们间是互相评判的，所以怎么把它们分出层次都会产生矛盾。

生硬的层次结构，违背人们习惯的谓词定义，以及自然语言分层的矛盾，让人们重新审视塔斯基针对“谎言悖论”，设计的解决方案思路。谎言悖论“这句话是假的”，极为干净，形成了悖论的原因很简单，它因自我指涉在逻辑推理后导致矛盾。要解决它，必须在自我指涉否定自己和逻辑规则，这两者中改变一个。塔斯基认为，逻辑是科学的基础，这是不可改变的，所以他选择避免语句评判自己的自我指涉。

但是自我指涉在日常语言和数学中都是经常出现，在绝大多数情况并没有造成问题，并具有难以取代的功能，例如：“这篇博文是用中文写的”，“这里写的都是真话”，以及集合论和哥德尔定理的证明的技巧都是合法、必要和成功的。认为谎言悖论的问题是“不规范”和“没意义”句子的指责是没有道理的，它只是特殊情况时的病态，为了治疗这种病态，要付出改变自然语言习惯为代价，甚至牺牲了语言表达能力的完备性，这个手术太大，不可能被大众接受。自然语言远比形式语言功能强大。人们宁愿容忍其中的矛盾，而且这矛盾在实践中很常是可以被解释清楚的。

作为悖论的解决方案，如果想保留自我指涉，那只能研究怎么改变逻辑规则，来容忍这个矛盾了。

采用辩证法确实是一种解决方案，人们可以承认一个句子既是真的也是假的。这样子所有自我指涉悖论的结果都是合法的。但这否定了逻辑中的矛盾律。否定了这个亚里士多德在他的“形而上学”里，称为“一切原理中最为确定（the most certain of all principles）的矛盾律”，从而无法据此来推理，这对于建立在之上的科学是难以接受的。

如果仅仅在认知语句为真时放弃排中律，在“真”和“假”之外，有个非真非假的“未定”状态，这还是符合人们对语言的学习过程和现实情况的。设想一下牙牙学语的小孩，对“雪是白的”这句话，是无法断定其真假，直到他学了“雪”和“白”与实物的对应，见到了雪，才能断定这句话是真的，在这之前对这句话的判断处在未定状态。有些话，人们永远都无法断定真伪的。这时就要用到三值逻辑，真和假值间符合通常二值的逻辑运算，“未定”与真假值之间的逻辑运算，可以有不同的设计。Kleene的强三值逻辑是其中一种，规定只有“真”和“未定”的与运算的结果为真，其他的“与”运算及“非”运算，有“未定”参与的结果设计仍为“未定”。

按照语义真理论的观点，真理是如何定义指称语句为“真”这个谓词。Kripke的方案模仿了塔斯基的T模式和分层语言结构来定义语句为真的谓词T，只不过这层次不在语法上，而是仅仅用在逐步定义这个“真”的谓词步骤（stage）中，用解释语言L₀, L₁, L₂,…来实现这个构建T语义的过程。所以这方案称为隐层次结构。

中国文化的思想方式基本是接受这个规则。知识的传承通常用口诀和经文的背诵，在与事实对照修正中来领悟。讲究的是读书千遍其义自现，各种不加定义的概念含义和关系在众多事例参照下，从模糊到清晰一层一层地涌现，最后豁然开朗融会贯通，这叫顿悟。而不是像西方科学中的概念，是由逻辑逐个依次严格定义上来的。

在隐层次构建的每一个步骤里，谓词T是部分定义的，有“真”、“假”和“未定”值，依Kleene的强三值逻辑规则进行推理。不同步骤解释语言的唯一区别，在于同一个内涵谓词T的外延不同。在这语言的语句集合中，设有两个不相交的子集U和V，依真假分别用来放语句φ，这对应于T<φ>为真和假值的分类。在最初解释语言L₀里，所有的语句都在未定状态，集合U和V都是空的，对所有语句φ，T<φ>值都是未定。然后在高一层次语言对低层语句，用三值逻辑的T模式来判定未被放入U和V语句的真理值T<φ>如下：

φ is true (false) in L_α  ⇔  T<φ> is true (false) in L_α+1

不难看到，在这个步骤α增加的过程中U和V里的语句不断地增加，遗留在外面的越来越少，T<φ>值不是未定的越来越少。这个单调的变化过程终究有时尽，这时T<φ>值是真和假的都已经在U和V中，遗留在外的语句，不再随着α增加能在L_α语言里判断出其真假值，也就是T的含义不再随着步骤增加而改变了。这时的步骤记为γ，谓词T就像定义在这语言中有：

φ is true (false) in L_γ  ⇔  T<φ> is true (false) in L_γ.

这个过程一般化称为“固定点定理（Fixed point theorem）”说：完全偏序链上的单调算子至少有一个固定点。它在现代形式真理论中扮演了中心的角色。

谎言的句子因为无法肯定它的真假值，所以不在U与V中，叫做在“真值的间隙中（truth-value gap）”。为什么谎言句子和原来一系列语言悖论的句子，现在不再是悖论呢？因为它们在推理中否定了真和假的可能后，在三值逻辑中还允许停留在“未定”值中，这里的规则没有排中律，所以不构成矛盾。

Kripke的论文虽然只是一个大纲，但它是在塔斯基真理论之后最有价值的，合乎直觉和自然语言习惯，能够规避谎言悖论困境的方案。尽管它还有许多疵瑕，还不能彻底摆脱塔斯基的层次结构【3】，但被公认为富有哲思和洞见，及其敏锐精致的理论。

但是，用三值逻辑能够完全摆脱了悖论的困境吗？看下面加强型的谎言悖论：

这句话是假的或者未定的。

从逻辑推断上，无论判断它是真的、假的、还是是未定的都会发生矛盾。这叫做悖论的“报复问题”，当你给出一种解法时，又产生了一个与原来完全类似的新悖论，仍然无解。

自我指涉深入到人类思想的基因中，它的悖论犹如一种无法治愈的疾病，各种的解决方案只能尽量规避或将它驱逐到不怎么常见的地方。下篇将介绍，这相同的疾病也困扰着最为重视严谨性的数学基础，为了解除痛苦，现在也正吃着各种类似的药。

（待续）

【参考资料】

【1】 Kripke, S. (1975): "Outline of a Theory of Truth", The Journal of Philosophy, vol. 72, no. 19: 690-716. http://philo.ruc.edu.cn/logic/reading/Kripke_%20Theory%20of%20Truth.pdf

【2】Wikipedia，Yablo's paradox http://en.wikipedia.org/wiki/Yablo's_paradox

【3】Kripke: 真理论https://phil-commune.net/bbs/thread-635-1-1.html