关于Ito引理到Fokker-Planck方程的一个注记

龚明，中国科学技术大学

第一部分： 直观图像

考虑下面的随机过程\begin{equation*} dX_t = \mu(t, X_t) dt+ \sigma(t, X_t) dW,\end{equation*}其中, $\mu$为漂移（drift）项，$\sigma$为随机项，$W$为随机过程（有些地方用$B$表示，$B$为Brown运动）。我们需要计算随机数$X_t$的分布函数$P(x, t)$。自然，我们会问一个问题，即随着时间推移，$P(x, t)$如何变化。这个变化，本质上就是问它满足什么方程。爱因斯坦1905年的经典论文就回答了这个问题，他考虑的Brown运动，可以由下面的扩散方程描述\begin{equation*}{\partial P \over \partial t} = D {\partial^2 P \over \partial x^2}, \quad D = {\sigma^2 \over 2}.\end{equation*}这里假设$\sigma$为常数。我们可以得到波包宽度$\langle X_t^2\rangle =\mathbb{E}(X_t^2) = 2D t$。这个方程有一个直观的解释，从流守恒角度出发，利用Fick定理$J = -D \partial_x P$，有${\partial P \over \partial t} + {\partial J \over \partial x} =0$。至于这个流，其实来自梯度方向的扩散。可见，这个方程既描述概率演化过程，也描述流守恒。这个问题还存在另外一个极限，如果只有漂移项，没有随机运动，那么从《经典力学》的刘维尔方程，相空间体积不变$dP = 0$，所以\begin{equation*}{\partial P \over \partial t} + {\partial P \over \partial x} {dx\over dt} = 0. \end{equation*} 此时流$J = P\mu$完全由漂移速度和概率分布决定（类似电流$I = n e v$）。这样，我们看到两个不同的机制对流的贡献，一个是漂移项的贡献，一个是随机扩散的贡献。基于这个图像，我们期待下面的结论，即如果两项都考虑，那么其流应该为二者之和\begin{equation*}J = P \mu + {\sigma^2 \over 2} (\partial_x P). \end{equation*}我们会看到，这个表达式不完全正确，但已经八九不离十了。它在两个极限下（假设$\sigma$为常数）都是正确的。我们在求解和推导之前做这样的分析，是因为它充满了物理的直觉。

（非常好的一本教材）

第二部分： Fokker-Planck方程的推导

目前有不少Fokker-Planck分布函数的推导。最经典的是爱因斯坦做出来的，后来被推广为更一般的Kramers-Moyal展开方法。本文从Ito引理出发推导这个结论。考虑任何一个函数$F(X_t, t)$，从Ito引理, \begin{equation*} dF = ({\partial F \over \partial t} + \mu {\partial F \over \partial X_t} + {\sigma^2 \over 2} {\partial^2 F \over \partial X_t^2}) dt + \sigma {\partial F \over \partial X_t} dW. \end{equation*}对这个公式取平均值将给出概率分布。首先左边为\begin{equation*}\mathbb{E}(dF) = \int P(x, t+dt)F(x, t+dt) dx - \int P(x, t)F(x, t) dx. \end{equation*}右边的项中，随机涨落没有贡献，$\mathbb{E}(dW） = 0$。第一项得到\begin{equation*} \mathbb{E}({\partial F \over \partial t} dt) = dt\int {\partial F \over \partial t} P(x, t) dx = \int {d(FP) \over dt} dt dx - \int F{\partial P \over \partial t} dt dx. \end{equation*}注意到$\int {d(FP) \over dt} dt dx = \int FP|_{t_1}^{t_2} dx = \int d(FP) dx = \mathbb{E}(dF)$，它正好是左边的项。类似地可以计算\begin{equation*}dt \int {\partial F \over \partial x} (\mu P) = dt \int {\partial (F\mu P) \over \partial x} dx - dt \int {\partial \mu P \over dx} F dx = -dt \int F{\partial \mu P \over dx} dx. \end{equation*}最后一项也可以同样处理，并将对$F$的二阶导数转移到对$\sigma^2 P$的二阶导数上。这个等式要对任意函数$F$恒成立，要求下面的方程成立\begin{equation*}{\partial  \over \partial t} P+ {\partial  \over \partial x} (\mu P) + {\partial^2  \over \partial x^2} ({1\over 2} \sigma^2 P). \end{equation*}这就是著名的Fokker-Planck方程。我们注意到，此时的流应该是\begin{equation*}J = P \mu + {1\over 2} \partial_x (\sigma^2 P). \end{equation*}这个流包括两个部分的内容，一个是漂移项，一个是随机扩散项。$\sigma^2$体现的是它来自$(dX_t)^2$，而$1/2$来自来自二阶泰勒展开。所以，我们在第一部分介绍的图像基本是正确的。

第三部分： 这个技巧在最小作用量原理中的应用

这个方法和我们对最小作用量原理的推导是一模一样的。假设我们要计算$\delta S=0$, 其中$S= \int L dt$。 我们在推导的时候，也会涉及到$\dot{\delta q}$的计算，我们需要将这个时间导数转移到其它项上去，并得到\begin{equation*}\delta S = \int dt \delta q ({\partial L \over \partial q} - {d \over dt} {\partial L \over \partial \dot{q}}) + {\partial L \over \partial \dot{q}} \delta q|_{t_i}^{t_f}. \end{equation*}这个结论对任意$\delta q$都成立，所以要求括号内的结论成立。这就是所谓的欧拉-拉格朗日方程。在推导Fokker-Planck方程的时候，我们要求它对任意$F$函数都成立，所以得到了Fokker-Planck方程。所以它们的物理不同，但采用的技巧相同。

今天讲《计算物理》，涉及到Fokker-Planck方程的推导。去年我讲的是Kramers-Moyal展开推导这个方程，较为复杂，今年从Ito引理得到这个分布，个人感觉这个方法更加直观、巧妙，而且充满直觉。这个证明在一些文章都可以找到，并非我独创，但是我将讲课的顺序做了调整，先介绍图像，然后介绍这些推导。课后反思，我对这个讲课方式是比较满意的，是为记。

注：知乎上学生写了很多这个理论的介绍和证明，但照搬教材的居多，并且经常出现一些错误。