一道微积分题目的计算以及画图

龚明，中国科学技术大学

今天知乎给我推荐了下面的积分的极限\begin{equation*}I(x) = \int_0^{\pi} {x \over (\sqrt{2} \cos(z))^x + (\sqrt{2} \sin(z))^x} dz. \end{equation*}问，$\lim_{x\rightarrow \infty} I(x)$等于多少。

一些人用复杂的方法得到了解。本文用另外一个方法得到其解。为此，我们先画图，看看它长什么样子。我们发现，如果$x$比较大时，它几乎是一个在$z = \pi/4$附近的尖峰。$x$越大，这个峰越尖锐，越窄。这个图像比较容易理解，因为$z = 0$或者$\pi/2$时，它的值为$x/\sqrt{2}^x \rightarrow 0$。为此，我们可以将$z$做平移得到\begin{equation*} (\sqrt{2} \cos(\pi/4 + z))^x = \exp(x \ln \sqrt{2} \cos(\pi/4 + z)) ) = \exp(-xz - x z^2). \end{equation*}类似的，\begin{equation*} (\sqrt{2} \sin(\pi/4 + z))^x = \exp(x \ln \sqrt{2} \sin(\pi/4 + z)) ) = \exp(xz - xz^2). \end{equation*}考虑到只有在$z \sim 0$附近才有贡献，我们有\begin{equation*} I=\int_{-\infty}^\infty {x \over e^{xz} + e^{-xz}} dz = {\pi \over 2}.\end{equation*}如果考虑到$z^2$的贡献，我们有\begin{equation*}I = \int_{-\infty}^\infty {x (1 + x z^2) \over e^{xz} + e^{-xz}} dz = {\pi \over 2} + {\pi^3 \over 8 x}. \end{equation*}

本文用到了一个常用的数值技巧。在很多情况下，我们不知道如何做近似。但是当我们把函数的图像画出来后，问题可能就明朗了。通过一些数值计算，发现一些积分函数的特殊性质，可以为我们指明近似的方向。这个题目很好地演示了这个过程，所以把分享出来。

（上图：分布函数； 下图，解析结果和数值结果的比较）