关于光折射定律和动量守恒的一个注记

龚明，中国科学技术大学

我们都知道，光从一个介质进入另外一个介质会发生折射---这是初中生、小学生都明白的道理。这个现象和动量守恒是一致的。在量子力学中，光子有动量\begin{equation*} p = h/\lambda, \quad p' = h/\lambda'. \end{equation*}这里$h$为Planck常数，$\lambda$为波长。水平方向的动量守恒（垂直方向不守恒），所以有\begin{equation*} p \sin(\theta) = p' \sin(\theta'). \end{equation*}其中$\theta$和$\theta'$分别为入射角度和折射角。光子在两个不同介质中的频率是不变的，能量不变，$E = h\nu$，这是因为折射过程不会损失光子的能量。这样，它的周期$T$不变。假设光子在两个介质中的速度为$v = c/n$，以及$v' = c/n'$（这里$c$是真空光速），我们可以得到它们在不同介质中的波长\begin{equation*} \lambda = v T, \quad \lambda' = v' T.\end{equation*}结合动量守恒和波长的关系（或能量守恒），我们得到折射定律\begin{equation*} n \sin(\theta) = n' \sin(\theta').\end{equation*}这就是著名的斯涅尔（1580年－1626年）定律，因为它是荷兰科学家斯涅尔首先发现的。光在反射过程中，满足入射角等于反射角，也可以类似证明。这是因为这个过程要求在平行水平面方向动量守恒。

反过来，我们可能要问，如果假设动量$p$是波长$\lambda$的函数，能不能从这个折射率反过来推导出动量和波长的关系？也是可以的。假设$p = k \lambda^{-\nu}$，那么结合折射率和波长在不同介质中的行为，可以证明$\nu = 1$，也就是$p \propto 1/\lambda$。但是我们不能从这里得到$h$。这是因为$h$的出现需要量子化。

可见，光的折射率和光子的动量守恒是一致的。这是一个美妙的结论---但不是新的，其主要观点，连高中生都可以明白。在教材中，这个定律一般是从最小作用量原理---费马原理---推导出来的。在电动力学和电磁学中，通过匹配电磁场的边界条件，也可以得到这个结论。本文的推导，则反映了它的另外一个特性，即在量子力学层面，这个折射关系也是成立的。

本结论在2020年和德国玻恩大学谭成忠教授讨论，他给我看了他的论文，这个结论在他的论文中就有讨论。我也和一些高中生讨论过这个问题。如果在普通物理教学中强调这个关系，会蛮有趣。本文写于2020年6月底7月初在湖南湘潭招生的时候。2022年11月29日整理，把反过来的情况分析了一下。如果有这个折射定律，光动量只能有$p \propto 1/\lambda$。特为记。

（光在界面的折射现象，波长和入射角，折射角等）