博文
【数学都知道】2017年5月2日
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作者：蒋迅
Thomas Royen是一位退休的医药公司的统计学家。2014年7月，他在刷牙的时候突然发现了他一直在试图解决的猜想：“高斯相关性不等式”(Gaussian correlation inequality，GCI)。GCI原理是说，如果两个形状有重叠，那么击中一个形状里的概率增加 了击中另一个形状的概率。相关论文在这里。
量子计算机到底能算得多快？由於人们长久以来寻找的技术奇迹尚未完全实现，美国国家标准技术研究所(NIST)的一位理论家证实，如果能实现量子计算机，其极限将比原先预想的高。美国国家标准技术研究所的Stephen Jordan将该发现描述为“思维实验”，不同于NIST另一组研究者两年前的工作，他从另一个角度对量子计算机的速度进行了研究。在先前的研究中，主要关注信息在计算机处理器两个开关之间的传递速度。而Jordan的新研究主要研究这些开关的状态切换速度。状态翻转速度等价于传统处理器的时钟频率。在计算过程中，处理器发送被称为逻辑操作的数学指令，改变开关的配置。当前CPU的时钟速度为几GHz，即每秒能实现数十亿次基本逻辑操作。由於量子计算机基於量子力学进行计算，其架构与当前计算机迥然不同。其中的开关，被称为量子位或“量子比特”，不仅能表示传统计算机中的0和1之外的状态，还能允许多种状态同时存在，表示能力远远强于传统计算机。Jordan的论文对长久以来认为量子状态意味著时钟速度的观点提出了异议。据量子力学，量子态的变化速度，即量子比特的翻转速度受所有能量的总量所限。Jordan认为该说法是正确的，但一些文章认为这还意味著限制了量子计算机的计算速度。
末日论（Doomsday argument）是一种预测人类未来的或然论证。它以对到目前为止人类总人口的估计作为条件进行推理，得到的结论认为人类很有可能已经经历了其一半的历史进程。末日论由天体物理学家卡特（Brandon Carter）于1983年首先提出，因此有些时候也被称为卡特大灾难（Carter catastrophe）。
赝矢量（英语：Pseudovector）也称为伪矢量，指的是在瑕旋转下，除了随之反射外，还会再上下翻转的矢量（因为右手定则的关系）。矢量（极矢量）和赝矢量（轴矢量）都是广义上的矢量，在一般旋转下的特性相同。但更严格地说，矢量还要求在瑕旋转下，除了空间反衍外，不会再改变方向。
在数论中，水仙花数（英语：Narcissistic number），也被称为超完全数字不变数（pluperfect digital invariant, PPDI）、自恋数、自幂数、阿姆斯壮数或阿姆斯特朗数（Armstrong number） ，用来描述一个N位非负整数，其各位数字的N次方和等於该数本身。相关阅读：一些水仙花数
外代数（英语：Exterior algebra）也称为格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以纪念赫尔曼·格拉斯曼。数学上，给定向量空间V的外代数，是特定有单位的结合代数，其包含了V为其中一个子空间。它记为 Λ(V) 或 Λ·(V)而它的乘法，称为楔积或外积，记为∧。楔积是结合的和双线性的；其基本性质是它在V上交错的
道奇森凝结是计算方阵行列式的一个方法。它的发明人是查尔斯·道奇森。他更有名的笔名是路易斯·卡罗（Lewis Carroll），以儿童文学作品《爱丽丝梦游仙境》与其续集《爱丽丝镜中奇遇》而闻名於世。
这是一个真实的问题。有7个小组，每组一个组长；有5个时间段可以作为练习的时间；每个舞者需要至少3小时练习；有些舞者属於多个小组（已知）。你能帮助安排吗？
美国国家队总教练罗博深说，每个人都可以是一个数学人，只要他有最好的学习技巧
看他怎么定义吧。这是一个视频。
陶哲轩讲解什么是小波。这是一个视频。
本文不是一个奇点理论的引论，也不是一篇包含许多新定理的专门论文。本文向读者展现一个数学长廊。我们看一下喜帕恰斯，牛顿和高斯，还有许多当代数学家。我们也看一些代数，拓扑，几何，复分析和计算机科学。
孪生素数猜想是说两个素数间的最小差距。现在有人问最大差距。当然是无穷大了。prime gap。混沌和秩序2：存在任意给定个数的连续个合数，因此，两个相邻素数的间距可以大於任意给定的数。
这是一本完全免费的在线抽象代数教材。作者说，如果你想学习代数，又买不起书，就在这里阅读吧。当然如果你决定把整个书打印出来，可能还是买一本更合算。
这是一本教你数学证明的书。跟前一本一样，你可以选择免费在线阅读，或者买一本。
如果你不幸在走路时下雨了，你又没有雨伞。那么你是该跑步呢还是走路呢？跑的话你会淋到更多的雨但可以快点到避雨的地方；走的话你淋到的少一点但会慢点到避雨处。数学证明在雨中几乎总是跑得越快越好。
麻省理工学院生物工程专业的课程要求 (非官方)
For 一年级：微积分1，2，物理1，2；二年级：计算机科学引论和编程，微分方程 (包括矩阵和线性代数)，生物分子系统的热力学；三年级：生物分子和细胞系统分析，生物系统的仪器和测量，生物系统中的域，力，流 (Fields, Forces and Flows)；四年级：生物工程设计。居然没有统计。估计是漏掉了。
在这里，你可以提出你认为值得研究的课题。已经提出的项目列表
古德斯坦定理是由鲁宾□古德斯坦提出的一条关于自然数的命题，即所有古德斯坦序列最终均结束于0。古德斯坦本人用集合论方法证明了这个定理，科比和帕里斯则在1982年证明了该命题在皮亚诺公理系统内是不可证的。 问题陈述继承n进制表示古德斯坦序列是由一种称为“继承n进制表示”的概念定义的。这种表示十分类似于通常的n进制表示，但通常的n进制表示对古德斯坦定理是不够的。相关阅读
自相似的Mandelbrot集显示缩放在一个圆形的功能，同时在负 X方向平移。 展示中心盘（-1，0）（-1.31，0），而视图放大到近似的费根鲍姆的比例从0.5 X 0.5 0.12 X 0.12 。自相似性周围米约维奇点-0.1011 + 0.9563i。
在网页中显示数学公式，那是“相当困难”啊。我搜索了很多资料，发现这些资料里所给的方法无非是两种方法：一、用图片显示公式，显然不是我们需要的；二、用各种开发好的库，但大多数是在线js库。继续阅读：续，续，续。
令X是有限CW复形，有c0个顶点，c1个边，一般地，有ci个i-边。则欧拉示性数为χ(X) = Σi≥0(-1)ici。它是X的一个不变量。同伦不变量是欧拉公式在凸多面体上的推广。
联合谬误的真相：为什么琳达可以更可能成为银行出纳员和女权主义者（而不仅仅是银行柜员）
先讲一讲“模糊真理”和“模糊逻辑”，然后是“琳达问题”。
我们都知道ex2的不定积分是不可求的。这里是一个证明。你有没有联想到，5次以上代数多项式没有公式解？有人指出，这跟微分伽罗瓦理论有相似之处。
费迪南□哥德霍尔特·马克斯·艾森斯坦（Ferdinand Gotthold Max Eisenstein，1823年4月16日－1852年10月11日），德国数学家。艾森斯坦的数学才华很早便显露了。1837年，艾森斯坦进入预科学校就读，其才能很快得到老师的承认。15岁开始买书自修，从欧拉和拉格朗日的著作中学会微积分。17岁他开始参加狄利克雷和其他数学家在柏林大学的讲座。1842年他购买了高斯的《整数论研考》，对数论产生兴趣。同年夏天，他随家人四处搬家。1843年他遇到哈密尔顿，哈氏给他一份阿贝尔关于高次方程无一般解的论文。因此，艾森斯坦被吸引过来，开始数学研究。下半年，他进入柏林大学，次年初向柏林学院提交了一篇论文。1844年6月他曾探访高斯。1846年，他开始在椭圆函数方面研究。1848年，当时德国政治局势不稳，艾森斯坦参加了一些支持民主聚会，虽不是活跃分子，但在3月19日被捕。次日就释放，可是短短的左7d禁期间的遭遇，已令艾氏的健康雪上加霜。跟阿贝尔一样，这位数学家不足三十岁便英年早逝，同样死于肺结核。
这是一个制作相图的在线工具。有几个例子。然后你可以自己输入你喜欢的复函数。索引中的文献也不错。
在数学中，实射影平面（real projective plane）是R3中所有过原点直线组成的空间，通常记作 R P 2 ，无歧义时也记为 P 2。这是一个不可定向、紧致、无边界二维流形（即一个曲面），它在几何中有基本的应用，但不能无自交地嵌入我们通常的三维欧几里得空间。它的亏格是1，故欧拉示性数也为1。
罗马曲面（Roman surface）是从射影平面到三维空间一个退化的映射，包含一个交叉帽（cross-cap）。
中国剩余定理是数论中的一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。也称为孙子定理，古有“韩信点兵”、“孙子定理”、求一术（宋 沈括）“鬼谷算”（宋 周密）、“隔墙算”（宋 周密）、“剪管术”（宋 杨辉）、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名。中国古代没有像古希腊那样形成一套数学理论。古人往往满足于解一些实际问题。这个算法就是为了解决“物不知数”问题的。由於是孙子在书中首次介绍，所以也称为“孙子定理”。但现代数学上都是像西方一样称为“中国剩余定理”。
在几何中，伪球 (Pseudosphere) 用于描述高斯曲率为负常数的各种曲面。有一天，一个学生带来了一个自制的漂亮伪球来。他把制作过程写在博客里了。真得表扬美国学生的这种动手能力。我们就了解一下伪球吧。
猜均值的三分之二 (Guess 2/3 of the average) 是一项没有支配性策略的博弈。在这个游戏中，若干个参与者被要求每人给出一个0到100之间的数字，所给出的数字最接近平均值2/3的那个人将会是获胜者。参与者之间并不知道其他人的选择。按照经济人的假设，参与者们应该会先排除不可能的数字。例如超过67的数字就不可能，因为当大家都选100时，平均值的三分之二才不过66。这样一来，每个人的选择又变成了在0到66之间选一个数，此时大於44的数字又变得没有意义了，接下来又是一个类似的循环……直到最后，所有理性人的选择应该都为0。然而，现实生活中的实验否定了这一推测。
我们感兴趣的是把一个大数分解成两个素数的乘积。这样的数可以用于密匙。我们使用大数据、统计和机器学习的技术来发现新的分解的办法。
受到黄金比例的启发，数学家埃德蒙·哈里斯斯（Edmund Harriss）发现了一个令人愉快的分形曲线，没有人曾经画过。但它不仅仅是一个漂亮的图片，它包含一些可爱的理论 - 并将黄金比例关联到一族完美的比例。
有一类蜥蜴可以随著年龄的增长而改变他的颜色。研究人员发现这种变化符合一个数学模型。
在数学里面，迭代幂次（亦作超-4运算），或可理解为迭代乘方、幂塔运算和超幂运算等等，是专指幂的下一个超运算级别，用以表示极大的数字。
数百年来，直到意大利文艺复兴时期的衰落，一个名字就是算术的代名词。 这是莱昂纳多 - 不是达芬奇，而是莱昂纳多·皮萨诺（约1170-1250），现在人们普遍称为斐波那契。其实，斐波那契没有发现斐波那契序列。公元前200年前梵语里就有记载了。这个序列也没有通过“黄金分割”来解释艺术美的。皮萨诺最伟大的遗产是帮助欧洲放弃了罗马数字系统，扛7d转换为印度阿拉伯数字，也许最重要的是0。
两个网络是相同的，除了三个着色的节点。 这些是“活跃的”节点，其余是“不活跃的”节点。在左侧的网络中，所有“非活跃的”节点观察到，其邻居中至少有一半是“活跃的”，而在右侧的网络中，没有“ 不活跃”节点可以得到这样的观察。
在重力作用且忽略摩擦力的情况下，一个质点在一点A以速率为零开始，沿某条曲线，去到一点不高于A的B，怎样的曲线能令所需的时间最短呢？这就是最速降线问题，又称最短时间问题、最速落径问题。在部分欧洲语言中，这个问题称为Brachistochrone，即希腊语中的“最短”（brochistos）和“时间”（chronos）。这条线段就是摆线，可以用变分学证明。
莫列波纹（英语：Moire pattern），又译为摩尔纹、莫尔条纹、叠纹、水状波纹，是一种在栅栏状条纹重叠下所产生的干涉影像。莫列波纹来自法语：moire，是一种纺织品，它的纹路类似于水波。最早这种纺织品是由丝作成，后来也用棉线或人造纤维来呈现相同的效果。相关艺术作品：莫列波纹形成的动物图案
坦顿是一位数学家，教育家和作家。他有一个视频频道和自己的网页。
都是计算机类的书，可能让数学人遗憾。
拓扑熵导引 (PDF)
本文定义拓扑动力系统的拓扑熵。相关阅读：Entropy as a functor，Functional Equations, Entropy and Diversity: A Seminar Course。
二次规划（Quadratic programming），在运筹学当中，是一种特殊类型的最佳化问题。它是凸优化中的线性规划（LP）之外的第一步。Python中的两个易于使用的QP软件是CVXOPT和quadprog。
数学上，克莱因（Klein）四元群，得名自菲利克斯·克莱因，是最小的非循环群。它有4个元素，除单位元外其阶均为2。
哆嗒作品
如果你不跟你的学生讨论数学，谁来讨论呢？
学校里不学的数学：《数学万花筒》
数学家们正过度吹捧“数学无处不在”这一观点
别想多了，数学就是无处不在的！
给华罗庚的一封信
一位小学生写给华罗庚的信
法律中的数学理性
我的折纸，我的数学，我的世界
跑不完的龟兔赛跑
无穷与直觉
轻轻校园风：北大博后原创单曲《数学工作者的日常》
用数学技术复原艺术珍品
拆解一个极限的前世今生
一道美国大联盟杯决赛试题赏析
从一到无穷大： 对应与计数
人物与历史
杨幂大伯除了是清华博导肌肉男神，也是发论文狂魔
北大数学科学学院院长王长平谈数学魅力及前景
中国数学的起源与早期发展
丘成桐：几十年人文教育缺失，多数中国数学家只能“萧规曹随”
马库斯·杜·桑托伊：传播数学，是一场扩大了上千倍的数独游戏
父子同获诺贝尔奖什么的：细数那些从事物理学和数学的一家子
公众号史上第一个图灵测试，你知道怎么玩吗？
数学家们的故事 (Bernoulli 家族，A.Eddington，Hardy，Einstein，Poincare)
怀念我的父亲李国平院士
文革时期的数学课本是怎样的？
武大、山大等数学系创系主任黄际遇|博学鸿才真奇士
中国人的数学为什么好（美国教育 赢在高中）
莲溪：是谁夺走了美国人的数学能力？(五) --美国百年数学战争演义
莲溪：是谁夺走了美国人的数学能力？(六)--美国百年数学战争演义
莲溪: 是谁夺走了美国人的数学能力？(七)--美国百年数学战争演义
莲溪: 是谁夺走了美国人的数学能力？(八)--美国百年数学战争演义
数学突破奖：告诉你一个真实的数学研究
与伍鸿熙教授座谈
顾险峰：人生若只如初见 | 学术人生 (圣杯问题VI：广义调和映照)
玩得转数学，写得了诗书，76岁的严加安院士有一个有趣的灵魂
严加安：第二节：科学和艺术的共性
严加安：第三节：科学和艺术的交融
严加安：第四节：美育与大学教育
现代数学确实在改变世界
x背后的轶闻趣事
跟19世纪的数学大师学习拿Pizza的正确姿势 (高斯)
瞎扯现代数学的基础
狱中成才的数学家 (庞赛列)
西蒙斯：从数学天才到模型先生
陈省身：学算四十年
你们都记住了陈省身、华罗庚，却唯独忘了这位许先生（许宝□）
统计学里“P”的故事：蚊子、皇帝的新衣和不育的风流才子
哲学家与数学家最初的推理规则
柯召──天才数学家的艺术之境
俗语新解，用数学的眼光看世界
COS访谈第二十七期：出国申请经验分享（上）
有关数集 N, Z, Q 的符号
没有定理的中国古代数学，如何站在世界之巅
收益管理的核心理念就是：同样一个座位，每个乘客愿意花多少钱是不一样的。比如西雅图飞上海的座位，有的人就想找个时间去上海，不急，但只愿意掏500美元，有的人明天就要开会，愿意掏2000美元。而座位完全是一模一样的。当资源供给固定的情况下，把座位定价和愿意掏钱买的人数画一个曲线，就是上面那条曲线。随著价格增加，购买的人数减少。随著价格降低，购买的人数增多。如果对於单一舱位而言，那就定一个固定的价格，取得最大的面积（蓝色的那块）就够了。国内的高铁就是这个策略。二等座就是单一价位，社会主义高铁毕竟不是以盈利为唯一目的的。
如果说现代文明起源于机械工业的兴起和发展的话，那么流体力学与机械工业的结合起到了决定性的作用，也可以说流体力学是机械工业现代化皇冠上的一颗耀眼的璀璨明珠。从古代的水力机械到现代最复杂的航空发动机的诞生均与流体力学的发展密不可分，也可以说流体力学几乎涉足到诸如水轮机、汽轮机、燃气轮机、膨胀机、风力机、水泵、风扇、通风机、压缩机、液力耦合器、液力变矩器、风动工具、气动马达、液压马达以及各种流体输运和控制设备等，所有以流体为工质来转换能量的机械。因此，毫无疑问，流体力学是机械工业最为活跃的一门专业基础学科，也是工科大学开设的一门专业基础课程。相关阅读：扒一扒计算流体力学（CFD）相关的那些书，流体力学早期发展与微积分结合。
赌场不怕你赢，就怕你不来，因为赌场游戏基本都是“久赌必输”。很多玩家迷信“运气”，而经营赌场的人相信概率，这就是输家和赢家的差别。1960年代初，一位名叫索普（Edward Thorp）的美国数学家利用刚出现不久的计算机找到了21点游戏中的机会，发展出一套通过计牌（card counting）打败赌场的方法。索教授理论付诸实践，用自己的计牌法连连大胜赌场，很快上了黑名单，眼看赌不成了，於是索某人干脆就写了一本书！然后大彻大悟，上华尔街发财去了，后来又在对冲基金领域闯出了一片天地。索某达人也！这本书就是《战胜庄家》（Beat the Dealer）──狂销70万册，荣登《纽约时报》畅销书榜。这就是成为当时赌徒们最爱看的一本书了。
有Mandelbrot 集，多米诺洗牌算法，正二十面体万花筒。Newton 迭代分形，李代数E8 的根系，模群的基本域，彭罗斯铺砌，Wilson 算法，反应扩散方程模拟，120 胞腔。相关连接：python绘制简单图形。
这篇文章不是给学习近世代数的人用的，而是给不熟悉数学的人看的。哪怕不能完全看懂，也希望人们能了解数学研究所达到的高度，希望能够领略数学之美。引用伽罗瓦的一段话“跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类；我相信，这是未来数学的任务；这也正是我的工作所揭示出来的道路。”
“庞加莱猜想”：任何一个单连通的封闭三维流形一定同胚于一个三维的球面。“高维庞加莱猜想”：任何与 n 维球面同伦的 n 维封闭流形必定同胚于 n 维球面。
许多年来，自然界许多事物的连续的、渐变的、平滑的运动变化过程，都可以用微积分的方法给以圆满解决。这就需要运用经典的微积分来描述。但是，自然界和社会现象中，还有许多突变和飞跃的过程，飞越造成的不连续性把系统的行为空间变成不可微的，微积分就无法解决。由渐变、量变发展为突变、质变的过程，就是突变现象，微积分是不能描述的。以前科学家在研究这类突变现象时遇到了各式各样的困难，其中主要困难就是缺乏恰当的数学工具来提供描述它们的数学模型。那么，有没有可能建立一种关于突变现象的一般性数学理论来描述各种飞跃和不连续过程呢？这迫使数学家进一步研究描述突变理论的飞跃过程，研究不连续性现象的数学理论。1972年法国数学家雷内□托姆在《结构稳定性和形态发生学》一书中，明确地阐明了突变理论，宣告了突变理论的诞生。
张老师科普概率悖论，以王宏血捡为例谈患病的概率。科学网热议时，我正在智利、阿根廷旅游。高同学亢声惊人，被围殴抱头而去。后来多人谈贝叶斯，很是娱乐，高空论剑，云遮雾绕，惘者益惘，不信者仍然不服，待我到家，已是笑渐不闻声渐消了。科学网博文中贝叶斯科普确实不错。但是高同学咭言，从检查结果得到患病概率不必用贝叶斯公式计算，直接从混淆矩阵统计就可得出，这个知识点被大家忽略了。这既怪他理解模糊，也怪围殴者把混淆打成了糊涂，其实这矩阵表达的是辨识混淆的状态分布，是可以直接从中得到王宏得病概率的。
张老师贴个科普概率的帖子，用了贝叶斯公式，联系起仪器性能指标与预测的准确率，它们都可以用概率来表示，却具有不同的含义，人们常把它们混为一谈。张老师的科普意在指出它们虽然不同，但存在著数学关系。质疑者困惑于仪器性能指标与判定概率的巨大反差，作了各类反应。至此楼歪了，质疑者多以无关概率计算的论据来评论这个故事，贝叶斯公式，知者固觉浅显，惘者益加不解，转为娱乐搞笑，科普反而造成吃瓜群众对概率更多的迷惑。我现在换个方式，看能不能把它讲清楚。相关连接：科学网贝叶斯讨论一月回顾及"吃瓜群众"意见集锦
张天蓉：再谈分布之分布（dirichlet分布）-贝叶斯分析之2
概率是客观的还是主观的？有人认为这是频率学派和贝叶斯学派的区别，其实不然，也许可以认为是一种哲学思想上的差别，但就科学研究的意义上，尽管物理世界是客观存在的，解决问题的方法却总是人为的，难免掺进主观的因素，自觉或不自觉地，明显的或隐含的，不管哪个派别，主观性在所难免。作为数学的应用，必须具体问题具体分析，哪种方法有效便使用哪一种，主观还是客观之说法，只不过是凌驾于科学之上的“哲人”们对理论的不同诠释，对解决具体问题无济于事。上篇文章中谈到的抛硬币例子，即使模型参数p是固定的客观存在，也可以使用Beta函数来猜测p，赋予p什么样的先验分布呢？最合理的猜测是假设硬币是公平的两面均匀的，也就是说p=1/2，或正面反面概率相等，即对应于uniform distribution。使用前文中Beta分布的符号，参数a=1，b=1时的Beta分布f(x; 1, 1) 对应的便是均匀分布。
概率论悖论http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-1042909.html其中，关于某人得病概率的问题，我觉得作者理解有错误。相关阅读：陆绮：看到高山博主讨论张天蓉博主的概率题，高山错了，赵福□：关于张天蓉与高山的概率论之争，有关贝叶斯的一道补充习题──另一则，袁贤讯：高山同学在概率问题上的正确与错误，袁贤讯：高山老师，你是对的！ ，张能立：不懂 概率 问题，袁贤讯：从测量的不确定性再谈贝叶斯方法──答徐晓（3）。
关于某些人提到的用贝叶斯定理计算假阳性率等伪科研，伪命题，我从基本原理，公式到认识论给予彻底批判，具体的文章请参考我的博文还有岳东晓和徐晓两位老师的博文，看来他们是“晓得”了。当然，科学网上晓得的人不止他们两个，不过敢於出来说句话的人不多，这就是国民素质的真实体现。相关阅读：徐晓：简说一道概率题的问题，概率问题贝叶斯定理推导与误区，杨正瓴：概率论-统计学学派：袁贤讯、高山、徐晓、张天蓉… 。
真实患病率确实取决于患病人群的大小和检验准确率。这个图大概幼儿园的小孩子也能看得懂，结果一群博士博导吵翻了天。
我们知道，快速傅里叶变换（FFT）是信号处理的重要数学工具。一般而言，n点信号的离散傅里叶变换（DFT）的变换结果（频域）也是n个数据点。但在实际应用中，对实际信号作FFT 时，常常涉及到变换前数据需要补零（Zero Padding）的问题。那么，补零到底有什么用，什么时候需要补零呢？对於一般的工程技术人员来说，基本就是调用现成代码或模块进行计算，很少考虑这些问题。其实，了解和搞清楚这个问题，对我们的应用还是很有帮助的。接下来，我们将从以下几个方面来简要阐述如何补零以及它对频谱分析结果的影响。一、什么是补零（Zero Padding）？二、为什么要Zero Padding？三、关于FFT频率分辨率
教材：Sanjeev Arora, Boaz Barak. Computational Complexity. Cambridge University Press, 2009. 这里的《计算复杂性》课件，是在原英文课件的基础上不断修改而来的。实际上，大部分的内容仍是英文的，少数的关键内容被改成了中文的。在讲课过程中，发现英文的课件虽然“高大上”，但当班上的学生都是中国学生时，还是中文的课件内容在课堂上放映时有“映入眼帘”的感觉，而英文的课件看上去就神秘多了。为了达到更好的教学效果，也为了更直接明了地向学生讲明白概念、证明、分析，我在上课的过程中，就把英文内容逐步地替换成了中文，当然，先从最重要的内容开始。制作这些课件很花时间，我现在的状态是一步一步慢慢来了。这些课件也许还会不断再被更新。
最近科学网精选博文中有关概率论悖论给我了一些新鲜的启示，让我明白人们对於临床疾病的发生的真实概率与自我常识有很大背离。比如，现代医学诊断水平可以达到很高的准确性，但是即使某病人某一项指标为阳性，而得出该病人与该指标直接相关的疾病的发生概率却低的多。
大学时没有系统地学习过线性代数（同济环科2002级本科的培养方案中没有“线性代数”这门课！），当时也没觉得有什么不妥。然而，随著时间的推移，越来越发现没系统学习线性代数是一大损失。在我的研究中需要经常用到线性代数，以前的做法是现学痕7b卖，用多少学多少，往往不求甚解，能马上使用就好。这种做法在初级研究中还能蒙混过关，但是一旦要推导某个环境理论模型或是编程时，就显得力不从心了。因此，为了做好我的本职研究，系统地学习线性代数显得尤为必要。
“李克正教授：“下放”和“上调”，同样都是瞎折腾！”这篇文章写的非常好，比喻也很有色彩。作为精英教育级别的中学数学，需要容纳一些大学数学知识，比如说微积分，线性代数，这是比较流行的观点，还有统计。我们似乎可以把现在大学的解析几何，几乎主体部分的内容，或一种变形，“下放”到高中阶段，也就是，中学数学的几何这条线的最终端，是把解析几何学到足够多的程度，乃至於接近甚至超过於目前的大学普通教材。
克雷数学研究所曾经承诺，如果明黎曼假设被证明，研究者将可以获得100万美元的奖励。《物理评论快报》（Physical Review Letters）2017年3月30日发表的华盛顿大学圣路易斯分校（Washington University in St. Louis）和西安大略大学（University of Western Ontario）的合作研究结果可能距离黎曼假设最后证明就差一步之遥。
以下转载的内容，不知道知否合理？感谢您的指教！http://scitech.people.com.cn/GB/4774904.html
数字0传入中国的年代据信是公元8世纪，但没有普及开来。究其原因，大概是我国古算也用方块字，这一传统对中国古算形成了很大的不方便，方块字最大的一个弱点就是无法确立系统的数学符号。而到了20世纪初，随著近代数学的传入，0~9这10个计数符号才正式在中国安家落户。即便如此，在自然数的规定中，中国还是没有将数字0这个外来户包括进来。后来为了便於国际交流，专门制定了国家标准，将0包括在自然数集中，中小学课本也才随著国家标准进行了修订。
最早的一本是1855年出版的卫斯理大学数学和天文学教授所著：Smith AW. An Elementary Treatise on Mechanics,Embracing the Theory of Statics and Dynamics, and Its Application to Solids andFluids. Harper & Brothers, 1855. 在叙述风格上，仍有自然哲学的流风余韵，定义，定理，命题等，因此与现在的工程力学教材相去甚远。影响大的当推斯坦福大学的教授铁木辛柯(1878-1972)和助教授杨(1904-1980，Timoshenko在密执安大学时的博士生)合著：Timoshenko S, Young DH. Engineering Mechanics: Statics &Dynamics. McGraw-Hill, 1937, 1940, 1951, 1956.
美国著名的小说家Mark Twain（马克吐温）在1907年的自传里，引用了曾任英国首相的Benjamin Disraeli的一段话：There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics. 由於Mark Twain的高知名度，这句话因他说了之后，便广为流传了。
王伟：他山之石，可以攻玉：计算思维如何支撑数据科学的思维模式？
正如数学家在证明数学定理时有独特的数学思维、工程师在设计制造产品时有独特的工程思维、艺术家在创作诗歌音乐绘画时有独特的艺术思维一样，计算机科学家在用计算机解决问题时也有自己独特的思维方式和解决方法，我们统称之为计算思维（Computational thinking）。从问题的计算机表示、算法设计直到编程实现，计算思维贯穿于计算的全过程。学习计算思维，就是学会像计算机科学家一样思考和解决问题。
世界是确定性与不确定性的对立统一体，集对是这类对立统一体的一种数学模型,集对分析对研究对象和研究过程中的不确定性“客观承认，系统描述，定量刻画，具体分析”，从同异反三维直至无穷多维角度研究确定性与不确定性的联系与转化，用联系数统一处理随机、模糊、中介、不确知、信息不完全等不确定性，以简驭繁，使得集对分析在航天、航空、气象、地质、矿山、能源、交通、环境、水文水资源、社会、经济、教学、体育、卫生、安全与非传统安全、管理决策、计算机和人工智能等领域得到广泛应用。
1917年，日本数学家挂谷宗一提出了数学界著名的挂谷问题，其数学表述为：长度为1的线段在平面上做刚体移动，方式不限，转动也罢，平移也行，总之不惜采用任何手段，只求转过180度调头，试问：扫过的最小面积是多少？他在提出此问题的同时，也给出了自己的猜测，也即至今未解的Kakeya猜想：最小单连通域的面积可能趋於零！曾经的商场成功人士，如今的美国大统领川普，也即特朗普先生，也曾对Kakeya猜想著谜。从他与陶哲轩教授去年总统竞选时的过招，隐约可见川普先生可能也是一位业余数学家。陶教授当时直言不韪，用复杂的数学公式，证明了川普不适合干总统这个职位。川普也毫不示弱，当天就义正言辞地在twitter帐号上驳斥陶教授，并揶揄折腾这么久的陶教授，连挂谷猜想也搞不掂，真让人失望！
人们对人工智能这样的现代科技持乐观态度，部分原因在於人们相信这可能是一种更加民主化的力量，不会被人类心智中的狭隘偏见所限制。但现在必须正视的现实是该技术反映了造物者的价值观，人类必须谨慎对待机器学习，否则我们创造出来的人工智能就会变成一个被隐藏无数偏见却不自知的社会缩影。人工智能有望改变我们的生活，为了确保它能做的更好，一方面需要走出自我限制，变得更有包容性，另一方面则需要保持敏锐的意识，特别是那些微妙的、隐藏的东西。当然，从数据集中去掉偏见因素，但同时也可能会因此失去一些有用的语言和文化内涵，这不得不说是一个艰难的抉择。
刘国忠：初一数学思维教育检测题
Laplacian锐化的本质，即在原图像上叠加Laplacian滤波的高频（细节）成分，使得图像边缘轮廓更清晰。
张磊：这两个本可以成为大数学家的天才，竟被同一个大教授所坑，双双英
两个年青人：阿贝尔和伽罗瓦，一个教授：柯西。
Wiley精选了旗下数学类期刊在2017年的免费文章，供感兴趣的读者阅读。点击期刊下方的链接开启您的阅读之旅！
徐令予：数学推进人类繁荣兴旺─ 女王陛下，你的子民要用洋人的数学课本了！
3月14日在英国伦敦的书展上，《柯林斯学习》与《上海世纪出版集团》签署了翻译出版上海小学数学课本协议。《柯林斯学习》是世界著名的哈珀柯林斯出版集团的英国分部，他们计划从今年9月起发行英文版上海小学数学课本，全套为36册供英国学生使用。
四百三十七年前（1580年，明神宗万历八年），基督教意大利传教士Matten Ricci来到澳门，后来到肇庆从事传教。将《几何原本》等中译本传于我国，可谓第一部传入我国的数学教本。
第四章：欧几里得和阿波罗尼斯。本篇记录此章的第6、7节。继续阅读：11，12
在网络输入：“向量代数”，得到的是“向量空间”、“线性代数”。在传统的数学文献中，“多元向量”是n*1的矩阵，是“数组 （ARRAY）”。它的乘法，按矩阵乘法的定义，有“点乘”（得到一个实数），有“叉乘”（得到一个矩阵），却没有真正意义的向量乘法（积不是向量）。而由於“点乘”、“叉乘”不封闭，没有逆，所以没有除法。向量只有加法和数乘，所以，归入“线性代数”。而，现在我们在《科学网》提出的“向量代数”里，向量是有乘法的，它的乘法是从“对角矩阵”的乘法延伸出来的：对应分量的积做积的份量，所以封闭，有逆，有除法。
奥数确实是存在非常危险的副作用的。第一个危险来源于孩子半懂不懂，囫囵吞枣，死记硬背，养成了不好的学习习惯，以及过於追求技巧的思维习惯；第二个危险则是，数学，尤其是奥数题，是非常费脑子的，即使孩子们学习方法正确，都学会了，但是，他们的大脑在剧烈运行之后，能不能够把大脑废物排出去，则因人而异，看各人的身体资质了，这就跟喝酒的体质类似；第三个危险， 是每个孩子学习数学的精神储备，俗称动力或兴趣；高智商的孩子们，费了半天劲，也拿了奥数奖牌，进了北大清华或者国外名校，可是其中有些人连博士都没拿到，还有一些人，也就是毕业后去一些公司打工，做的明显不是研究工作。他们的家长，估计大多数没有真正见过科学家/数学家，不知道他们是干什么的，或者说不觉得大学教授是个挺好的工作，没想著让自己的高智商孩子成为大学教授。既然这样，以终为始，他们的教子策略，很有可能是把自己的孩子给抹低了。
当一只海象在海洋中遨游，广阔的大海中，海象显得是那么的渺小。它时而向东，时而向西，它是仅仅随著洋流在运动吗？当然不是，甚至有时候看起来是那么的随机，以至於更像是在做随机的运动。一个细胞膜上的蛋白质，常常在膜上进行著随机的运动，还有大肠杆菌在旋转的液体中的运动等等。大自然中不止有平滑的曲面，还有各种弯曲的表面，因而，因而我们需要关注曲面上或者具体的说，是二维球面上的布朗运动，至於其他的曲面，则可以用相似的方法来分析。
力学的优点在於将工程上复杂、繁琐的情况根据结构的受力特徵划分为几种简单、典型的受力模型，以便於学习和掌握。材料力学就是针对於工程上常用的细长结构，根据其受力特徵划分为杆、轴、梁三种模型，这样，工程中复杂、繁琐的构件受力问题一下子就变的明朗起来，在材料力学眼中，再复杂的工程结构，也只有杆、轴、梁三种情况，一定程度上体现出了力学的简洁性。在学习材料力学时，需要特别注意材料力学中的杆、轴、梁来源于工程，但它们并不等同于工程，它们是按照受力特徵对工程结构经过抽象后的力学模型。尽管材料力学只学杆、轴、梁三种简单模型，但所学知识经过组合后可以解决复杂的工程问题。
一般人谈概率，往往从卡尔达诺的工作谈起－作为一个赌徒，他当然讨论的是扔骰子。但是，早于卡尔达诺，在法庭的证物的证明中，已经对证物的可靠程度，有了判别，比如有的证物，我们就认为完全可靠，有的，则是真假不定，有的，则是完全不靠谱。虽然那个时候，还没有摽赡苄詳多大的精准定量描述，但是，证物的分级已经存在。显然，对於这些证物的可靠程度，人们已经有了一个粗略的内心估计，虽然这个估计每个人并不相同。
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