作者：蒋迅

Source: wikipedia

我们都听说过根号2的故事。历史上有许多特殊的数字，它们被人们认定是有理数但最后却不得不承认是无理数。但似乎还没有哪个特殊的数字被人们认定是无理数的有理数，至少没人正式宣布一个数是无理数，而后来被人们证明是有理数。不过有这样一个常数，它曾经被猜测是无理数，而最后发现它其实是有理数。这个数就是勒让德常数 ([wikipedia] Legendre's constant)。

1808年，勒让德在研究素数的分布情况时，发现 π(x) 满足以下等式：

这里，π(x) 是素数计数函数，B 是一个常数，称为勒让德常数。勒让德估计 B 大约为1.08366。没有证据他宣称了 B 是无理数，但他很可能觉得那是一个无理数。其实这样的猜测在当时还是满合理的。从上面的图片我们可以看到，当 n 从1增加到10万时，那个极限值确实是非常接近于1.08366（横线）。那个时候，数学家们普遍认为 π(x) 符合某种规律。显然，勒让德也参加了对 π(x) 的研究。在这一点上，具体 B 是多少没有那么重要。重要的是这个常数的存在性，因为它说明素数定理（prime number theorem）是正确的。勒让德让大家看到了希望。但勒让德本人没有能等到结果。他在1833年因病去世。

到1849年，这项研究有了新的进展。俄国大数学家切比雪夫证明了，如果这个极限存在的话，那么这个极限 B = 1。我们在“俄国天才数学家切比雪夫和切比雪夫多项式”一文中详细介绍过这位数学家。切比雪夫的证明给数学界布上了一层乌云。大家想，这个极限大概不存在吧，因为1是如此的普通，它怎么可能是 B 呢？可惜切比雪夫也没能等到最后的结果。他在1894年去世。

1899年，最后的结果出现了。比利时数学家查理斯·拉瓦莱·普桑（Charles Jean de la Vallee Poussin）终于解决了这个问题。他证明了极限存在并且等于1。这是他在数学领域里做出的主要贡献。他因此获得了比利时国王授予的男爵称号。

现在我们知道了 B 是一个有理数，它的值是1。它不能像 π，e，和 φ 那样可以那样地高贵。

最后，留给数学家们的问题变成了：我们还有一个勒让德常数吗？答案是：现在人们更愿意把勒让德原来给出的1.08366称为勒让德常数，尽管它已经没有了原来的意义。