译者：蒋迅

原文出处：1000 Euro Question

以下问题来自2014年芬兰预科考试，获得满分成绩的考生可以获得1000欧元的奖励。 一些学生未能获得这个奖金，仅仅是因为他们做错了这个问题。 （我简化了考试的详细信息；您可以阅读Reddit Math的详细信息。）

问题

考虑方程 ax - 5x + 2 = 0。求解a，使得方程只有一个解。

试试看，然后观看下面的视频以获取解答

(本视频在国内可能无法观看)

或者继续阅读。

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1000欧元问题的解答

一些学生对问题的解决方法如下。 如果二次方程ax + bx + c = 0 的判别式等於0，则它只有一个解。这意味着：

将其应用于方程 ax - 5x + 2 = 0，我们得到：

这似乎是答案，但这不是完整的答案！

要了解原因，我们将退后一步。 我们可以使用婆罗摩笈多的二次方程式来求解一般的二次方程式：

如果 b² - 4ac = 0，则上面有一个解决方案，因为那是 ± 项消失的时候。 但是有一个小问题。 由於分母为 2a，因此我们还要求a ≠ 0，以避免除以0的错误。

因此，我们必须考虑两种情况。 如果 a ≠ 0，则上述方法可以得出 a = 25/8。 但是，然后我们必须考虑 a = 0 的另一种情况。

然后将二次方程 ax² - 5x + 2 = 0 转换为线性方程 -5x + 2 = 0。这显然有一个单解 x = 2/5。

因此，原始方程式针对两个值提供了一个单一的解决方案：a = 25/8 或 a = 0。

我认为这是一个非常巧妙的问题。 但是，我对没有看到陷阱的学生表示同情 ─ 在考试的时间限制和压力下，并非总是能想到所有情况。