作者：蒋迅

最近油管上的一个视频“The Bizarre Behavior of Rotating Bodies, Explained”着实火了一把。在这个视频中你看到的是一个非常奇异的现象。前苏联保密十多年；大神陶哲轩也搅和了进去。我本来是想写一篇介绍的，但发现脸书上已经有人写的很精彩了。考虑到国内的读者可能读不到，我转发在自己的博客里。

【维基百科】网球拍定理

网球拍定理或者中间轴定理,是经典力学中描述自由刚体运动时欧拉方程的解，该刚体可以绕三个不同的主轴旋转，并且三个转动惯量互不相等。因为该现象由俄罗斯宇航员弗拉基米尔·扎尼别科夫（Vladimir Dzhanibekov）于1985年在太空中发现，所以又称作扎尼别科夫效应。[1] 1991年的一篇论文解释了该效应。[2]

该定理可以用如下实验来描述：刚体绕居中的主轴转动时，转动很快就变得不稳定，而绕另外两根轴旋转则比较规则。[3] 现在用下面的实验来解释：握住拍柄使得拍面水平，然后释放球拍，这时将不容易接住球拍，因为拍面会翻转。相应的，如果双手去搓拍柄，然后释放球拍，将很容易接住；还可以使拍面与地面垂直，释放后也将比较容易接住。

事实上，该实验可以用任意有三个不同转动惯量的物体来实现，例如书本或者电视遥控器。只要旋转轴稍微与第二主轴不同，该现象就会发生，不依赖于空气阻力或者重力。

数学描述

这里，I₁, I₂, I₃ 为三个转动惯量，并假设 I₁ > I₂ > I₃。ω₁, ω₂, ω₃ 为三个相应的角速度， , , 为其时间导数。

现在研究绕主轴1旋转的情况，要确定平衡状态的性质，可以假设另外两个初始角速度都非常小，从而 也非常小，所以ω₁与时间的关系可以忽略掉。

然后对方程(2)求导，并把 到代入其中，从而有

值得一提的是，注意，现在ω₂的符号发生了变化，所以绕着这根轴旋转是稳定的。

对于I₃ 也是类似的原因，也是稳定的。

现在将一样的分析应用到I₂ 上，这一次是 非常小， ω₂ 与时间的关系可以忽略。

对方程(1)求导，并把 代入其中，从而有

注意， ω₁ 的符号保持不变（角速度会增长），所以绕主轴2旋转不稳定。因此，一个很小的扰动就会使物体发生"翻转"。

原文出处：【脸书】[真实元素] 那个和古怪旋转有关的定理有很多名字

那个和古怪旋转有关的定理有很多名字：

它既是「札尼别科夫现象」（Dzanibekov effect），以在 1985 年一次奇幻又惊险的抢救失灵太空站的任务中，意外发现蝶形螺拴奇怪转动方式的前苏联太空人命名。

它也是「网球拍定理」，以某一篇以网球拍为例的物理论文为名。或是以背后的原理：在固体物体的三个主要旋转轴之中，绕着转动惯量（moment  of inertia）次大的轴旋转是不稳定的，而称之为「介中轴定理」（intermediate axis theorem）。

Veritasium 的 Derek  对这个问题着迷已经很久了，之前做过两集节目和这个有关。一集是一个大圆木板在偏离圆心处钻了一个小圆洞，旋转起来小圆洞会一下在这头、一下又翻转到那头。另外一集是机智问答，请大家沿着萤幕的短边翻转你的手机，手机好像自己会想翻面一样，请大家想想其中原理。

物体的超灵异翻滚，这现象在日常并不罕见，甚至可以说常常发生，因此其实物理学前辈就研究过了，无论是在  Landau&Lifshitz 的力学经典教科书，或更早之前 19 世纪的法国工程师庞梭（Louis  Poinsot）的数学表达。总之，有些物理学家知道为什么，但尚未达到常识的地步，所以一直到最今都还能以此为题发论文XD

奇怪的是当年札尼别科夫同志向党报告我们的奇异旋转现象时，苏联当局决定严守机密，一守就是十多年。为什么？这个现象难道可以用来入侵美国本土，或/且拿来开启相反世界的传送口吗？这我们先按下不提。

物理学家费曼在加州理工上课时曾被学生问到「有没有不靠课本上复杂的微分方程式系统而理解介中轴定理的方法」（着实复杂，但复杂的程度只是适中，它的解析解和单摆有点像，只要请出「雅可比椭圆函数」就姑且搞定）。传说费曼认真思考了几秒钟，坚定的答说：没有。XDD

Derek 表示不甘心，发誓一定要找到直观的理解法，这样他做的影片才不会输给 3blue1brown 和 Vsauce（大误）。可是人家是费曼啊，整天没事的嗜好就是算物理题目的大神，连他都没有顿悟出来的。要小小的超越费曼......就只能找另一名大神了。

那位大神就是很喜欢在网路上跟人合作的数学家陶哲轩 Terry Tao。他曾经在 2011 年在 MathOverflow 论坛的回帖里用过一个无质量单位圆盘上的一对大质点 M, M 和小质点 m, m 的旋转来理解这个现象（影片里动画很精美我就不浪费时间翻译成字了）。

直观解释完了。但其实陶的帖子的描述漏考虑了一个颇重要的点，看完影片的你不晓得有没有发现少了什么。Derek 被大神阴了哈哈。在 Derek 今年问他能否为这集做采访（答案是打枪QQ）过后不久，陶就自己默默编辑了帖子把漏洞补起来了。请自行参阅大神： mathoverflow.net/questions/81960

在影片底下没什么人会读的叙述区，Derek  又找了一位科普大神帮忙，minutephysics 的 Henry  表示他都是这么理解介中轴定理的：能量分配原理。在转动惯量最大的轴上，给定角动量对应的转动动能最低。转动惯量最小的轴，给一样量的角动量，对应的转动动能最大。（关系式：  L = Iω，Ek=1/2 Iω^2，L^2 = 2*I*Ek，即转动惯量和动能成反比）所以当物体沿最小的 I 转，动能最大，哪里都去不了。最小的 I 转也是哪里都去不了。只有沿着介中轴的时候能量和角动量有余裕反覆交换。

一个谜解了，还剩下苏联的谜题。苏联人不知道的是，搞太空竞赛的对手美国佬早就知道这回事了，并且在太空时代早期吃过这物理原理的亏，早学了乖。苏联科学家守密的理由显然是因为他们觉得：不能贸然排除「地磁逆转」其实是整个地球因为札尼别科夫同志发现的不稳定性而逆转，地磁本身其实在原地没动的一种惊天动地的可能性。

就在 2012 年马雅末日很潮的时候，札尼别科夫现象也重出江湖，被当成一种末日候选机制──电影《2012》其实有演出来，主角约翰库萨克的飞机从黄石公园出发不久，居然就差点撞到喜马拉雅山，等于他一瞬间就横跨了太平洋?!

电影宇宙里的解释是，因为地心的异常变热，地壳和地函解离而产生旋转方向逆转的现象。约翰库萨克向西藏飞去，但同时西藏也往他那边高速转过去，于是跳关完成......写了这些字我觉得只有太扯，没有最扯。

那地球有没有可能逆转呢？答案是几乎没有。

Derek  接下来用太空人旋转水瓶的画面来展示：如果旋转体不是刚体，其中有会柔软变形因此会将旋转动能以热能形式耗散的东西──例如水瓶，还有地球（地球有海洋，有液态外核，也有黏弹性固体的地函等等），那么三个旋转轴之中就只剩下一个是稳定的：转动惯量最大，最「惰性」的那个旋转轴。

我们已藉由重力探测卫星，发现地球和火星最大的正重力异常区（大块的集中质量）主要都位在赤道附近，这表示在天体的长程历史中，早就调整到最稳定的那个轴了。不是常常听到三峡大坝蓄水，冰河期的两极冰冠，或是苏门答腊大地震改变了地球的自转吗，就是转动惯量的改变带来的自转轴微调。

何况地球还有一个巨型月亮在黄道附近运转，一直在用潮汐力把地球揉捏着，进而稳定了自转轴。地球的自转轴倾角始终在 22~24  度之间摆荡。火星则只有两颗小丁丁月球，自转轴摆荡的就比较剧烈了，从 15~35 度（目前是25度）都可能发生过。但我不晓得 NASA  怎么知道这种事情的，难道是 51 区的时光机?!

这一集 Veritasium 也让我想起电影《世界末日》的主角：那颗陨石本人，因为剧情需求，原本依照一个轴转动，通过月球附近时受引力干扰，开始绕着两个轴转动，因此变得很不稳定，甚至使通讯中断再讲就暴雷了......

这就是为啥，第二拉格朗日点的通讯站是很重要的基础设施了（离题）。现在我们可以假装理解这是因为介中轴的转动不稳定的缘故啊。

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The Bizarre Behavior of Rotating Bodies, Explained
Spinning objects have strange instailities known as The Dzhanibekov...