精英教育级别的中学数学应该学到什么范围？

王永晖

李克正教授：“下放”和“上调”，同样都是瞎折腾！

这篇文章写的非常好，比喻也很有色彩。我本人目前对中学数学的了解很有限，陪着孩子们刚把小学内容了解了个大概，对于中学数学，主要是靠自己的中学印象，以及对大学数学教学的了解，说一下自己的想法，肯定是很不成熟，这里仅作记录，或也可供同好参详。（虽然，同好非常少）。

中学数学，在传统来说，主要是两条线，代数和几何，初中代数，高中代数和三角函数，初中平面几何，立体几何，高中解析几何。另外，还有初等组合学。

作为精英教育级别的中学数学，需要容纳一些大学数学知识，比如说微积分，线性代数，这是比较流行的观点，还有统计，这里，我从自己的想法上，说些观点。

国内大学数学系的解析几何，在国外数学系是没有这门课程的，我自己的印象也记得，上大学的时候，感觉解析几何课程，跟中学差不多，没学到多少新东西，从这些信息出发，我们似乎可以把现在大学的解析几何，几乎主体部分的内容，或一种变形，“下放”到高中阶段，也就是，中学数学的几何这条线的最终端，是把解析几何学到足够多的程度，乃至于接近甚至超过于目前的大学普通教材。

这个视角，目前好像还没有人重视到，一般人首先看的是微积分，线性代数，没有意识到解析几何。其实，解析几何是最应该（几乎）完全下放到中学的，至少对于优秀学生来讲，这样子，国内大学数学系也就不用开解析几何课程了，跟国外数学系一样。

我自己不是几何学专家，但也知道大学的几何学，是另外一套路数，现代几何学，已经非常深奥，跟平面几何，解析几何感觉差别很大，解析几何，还是更偏于古典，放到中学，接轨于平面几何，立体几何，中学生理解是没有什么问题的。

另外，大学解析几何下放到中学数学，可以在课程中融入三角函数。三角函数，目前在国内、国外的教材中，都是放在代数里面的，但实际上，很明显嘛，三角函数具有几何意义，放在平面解析几何里面顺便讲了，是非常方便且富于启示的，此处可以把复数一块儿解决了。

解析几何，还包含相当的线性代数知识，这既是优点，也是难点，这也可能是过去不敢下放到中学教材里面的一个理由。线性代数，其实可以有两个学法，一种是从线性方程组去学，另外一种，则是从解析几何入手去学，后者的书虽然少，但还是有的。

线性代数，在大学一年级的教学目的有两个，一、求解任意的线性方程组，二、真正知道什么叫做维数。现在，连小孩子都知道维数/维度这个词了，但其实他们不可能真正知道其意思，除非真学了线性代数课程。从第二个任务的角度来说，将之融合到解析几何课程中是非常自然的。

所以说，高中数学阶段，应该强调解析几何（到当前大学程度），这个观点，似乎目前搞数学教育提出的还比较少。并且，解析几何的用处是相当大的，随着机器人时代的到来，3D打印时代的到来，解析几何这门学科，也许将会得到重新的重视。

朋友曾经转过一篇机器人的文章给我看，里面用的都是解析几何。初中的平面几何，实际上在整个中学数学阶段都是最难的，但是，现实中估计是没多大用处，三S平面几何学这本书三百多页，可能机器人领域最多能用到一页纸，而解析几何则不然，估计用到的比例是非常大。

平面几何，在中学数学教改中被弱化，国内国外亦然，也许是有这个原因在里面。但是，我们还是应该相信诸多顶级数学家的认识，即，平面几何在数学教育中，是不可或缺的，目前还很难找到其替代品。

或者可以这么说吧，如果没有古希腊人当年发明出平面几何学，可能就没有我们今天的现代文明。

最开始的几何学，正如小学生们所熟悉的那样，是算面积，算周长之类，小学生们会很惊讶地发现，平面几何学，并不从面积和周长入手，研究的完全是他们意想不到的问题。

这个意想不到，其实不仅仅指的是小学生，整个人类都是如此，古希腊人的这个发明，其他民族都没有想到，包括我们汉人。

人类文明，从此进入新篇章。要说一句的是，不仅仅科学家受益于此项学问，据林肯传记，这位美国总统在年青当律师的时候，业余爱好是读《几何原本》。

现在，让我们再说说微积分，微积分的教学改革，目前版本挺多，但我看到的都不是太好，比如美国大名鼎鼎的AP课程微积分，我看过一本教材，实在是没什么意思，学还不如不学，美国也一样搞死记硬背，瞎套公式的教育方式。

微积分如果下放到中学，应该跟物理学结合在一起，如果不讲物理学的微积分，实在是没办法让学生们理解和认识其意义，这本来也是微积分发明出来的原因。但目前，我还没有看到相关的书籍，知者请告知。

也就是说，高中生的微积分，其实应该当作物理学主线，这样也必然牵扯到了中学物理的教材改革，没必要像现在这样，因为没有微积分，从而把物理学在高中砍的太弱智，牛顿推出那些公式，本来就是用到微积分的，现在光教公式，就把最精华的部分反而砍掉了，历史已经过去几百年，而且这是现代文明的发起阶段，高中生们完全可以学了吧。

另外一个当前教改中试图下放的，肯定是统计学了，又是一门AP课程，也是当今时代的特色，大数据使得统计学成为显学，在美国，统计系是从数学系中独立出来的，而又有紧密合作关系，比如Stanford大学的数学系和统计系的毕业典礼是合在一起弄的。

不过，我对此内容比较陌生，而且，中学生的时间就那么多，毕竟不是大学数学系学生，课时需要被各科分担的，其下放的意义和范围，从精深角度讲，估计是远远不如解析几何的。

最后，是代数这条线，内容应该是比较明确的，此处就不多谈，不过，我这里想指出的是，中学的代数学训练，培养的不仅仅是代数能力，它对大学数学的其他各科，都有强大的影响能力。其原因，就在于我前面分析的数觉，算术与代数的“数觉”：怎样重视？ 跟我目前看到的心理学界的“数觉”定义，还不完全一样。

也就是说，中学代数，并不是为让学生们会解方程，线性方程与一元二次方程，那样理解就片面了。中小学的算术和代数，连成一条线，主题是非常明确的，那就是培养我们大脑的数学符号处理能力，根据目前心理学界/脑科学的进展，我有理由相信，虽然都是一个教室的同学，表面上看做的都是同样的题，但有些同学的大脑的数学功能区是激活的，有些同学只是死记硬背，也就是说，表面上看他也把题做出来了，但是，大脑数学功能区并没有变热发亮。

为什么，这就是算术和代数学训练的功效，让阿拉伯数字，跟数数建立联接，让英文或希腊字母，又跟阿拉伯数字（或更深入的数学思维）做联接，从而，那些训练有素的数学优等生，看见英文字母的时候，其大脑数学功能区是激活发亮的。从这个角度来理解，代数学训练，可以一以贯之，孩子们需要相当长的时间才能真正的掌握，做与不做，区别肯定是非常大的。

最后只能再次表示，思考很不成熟，本文仅为记录和日后讨论所用。