算术与代数的“数觉”：怎样重视？

王永晖

数觉， 英文称作 Number Sense. 不光是个名词，已经开始被心理学家研究，虽然还不成熟，但也已写入西方国家的中小学数学教材中。

我在符合人才培养规律的小学数学教学 , 大概地指出，我们的教学目的之一，是培养孩子们的“数觉”，“数觉”怎么理解，至少包括了

1. 最早的数数阶段：将阿拉伯数字，跟对应的几个点（点位符），进行符号联系的能力，不仅是能力，而且要练到本能。

    相关资源： 估算测试      N'back 10 这个游戏有助于阿拉伯数字的数觉形成，同时锻炼了工作记忆能力。

                        心算训练

2. 小学高年级和初中阶段：将英文字母，跟数字相联系的代数学“数觉”。

第1点是非常重要的，李克正老师已经指出，需要花两年以上的时间让孩子们学会数数，过早地跳出这个阶段，可能会给普通孩子造成无法挽回的损失，就像我们在首师大数学系本科生上所常见到的那样。

而第2点的代数学“数觉”的训练，恐怕也要花两年以上的时间，小学高年级阶段和初中低年级阶段。

从这个观点上来看，让孩子们学习小学应用题，初中学习方程组，并不仅仅是为了知识上预备线性代数，而是将字母与数字进行结合，从而让孩子们在练习中，逐渐对字母也生成数觉。

从教材和大纲的安排上，也确实是这样，不过，往往只说了是什么，还没有安排一个主线，即围绕一个什么为主线来组织，我认为，应该是围绕运算律的主线，目的是为了培养数觉。

目前的数学教育，还没有突出知识之间的联系，也就是说没有主线，如果把数学知识的内在联系略过，其实是对孩子们的智慧没有画龙点睛。这种略过，而且是发生在数学的最为基本的知识上，即，运算律，学生们在小学高年级阶段学过五大运算律，交换律（加法的，乘法的），结合律（加法的，乘法的），分配律，但是，不管是小学还是初中，目前教材都没有把这五大律，跟其他的知识进行足够的联系，也就是学过了之后，放在那儿不充分地运用它，没有用这五大律和减法除法定义，来推出其他的代数学恒等式，结果只能是让同学们背住那些平常学习中要用到的代数学恒等式。

中国教材是这样，国外教材也是这个缺陷，我本人不是代数学专业，即使按照我本人的粗浅的代数学基础和代数学感觉，都可以认识到其不足，更别说那么多代数学专家了。

我们的教学哲学是，“数觉”本是天生的，教学所作的，只不过是把孩子们天生的“数觉”，跟人类通用的符号相联系，练熟，熟能生巧。

所以，我们的教学实践是，在小学高年级阶段和初中起始阶段，也就是，在小学应用题和初中方程组的教学之间，乃至之前，加入代数学恒等式的证明，和相应训练，比如建议可以采用如下教学顺序：

1. 通过最简单、最基本的那类应用题和速算巧算题，让孩子们明白五大律，或者还可包括其他可以由五大律直接推出来的代数学恒等式，我们称作第一层代数学恒等式。

2. 证明（我们将其算作教学中的概念引入部分），从五大律和减法除法定义，推出其他常用的代数学恒等式，大概有将近30个。这是孩子们第一次大规模地接触严格的证明，提前于通常的第一次于平面几何时的严格证明经验。

3.  计算（我们将其算作教学中的日常练习部分），a. 速算巧算题，尤其是在这种题中，加入字母，其实就是形成了带有速算巧算性质的方程组。 b. 相对复杂的应用题，达到各类数学竞赛和小升初点招题中的难度级别。

4. 初中级别的线性方程组，乃至因式分解，一元二次方程的相关知识。。。

初中的代数教材，我找到国外的一本，据说是为美国的精英学生准备的，大家可参考，我自己还没来得及细看

http://dlx.bookzz.org/genesis/731000/259dad62a6776336d35dd24caedc2d54/_as/[Richard_Rusczyk]_Introduction_to_Algebra(BookZZ.org).pdf

这本书所依托的数学教育网站，https://www.artofproblemsolving.com  据说在美国搞奥数竞赛的中学生中已经很有名气。

附注. 大学是数学的第三关，这时候有很多定理，需要把这些定理，从语言的角度过关，即把定理或者定理中的构件(忆筛格式)当作单词，这些单词和其用法，如果没有背熟搞熟, 大脑就无法自动运作。

         也就是说，大学数学的更高层次，不光是把书读会，读会之后，还要善于发现书中的精华，也就是我们这里所说的单词(构件)是什么，然后反复琢磨，熟能生巧，这是职业数学家与普通人的区别。

数觉的资料：

数学家的大脑，跟我们这些凡夫俗子有何不同？    “高水平的数学思考所反复利用的大脑区域，是人脑中与数字和空间认知相关的区域，该区域在多年以前就已形成，并一直随人类演化到今天。”  人类大脑皮层的建立原则是，高级功能都是叠加在低级功能之上的，进化过程如此，所以，数学的高级功能一定是建立在诸如心算、空间认知这些低级功能之上的。

数学家的数学才能从哪儿来？  “人类大脑中负责高难度数学问题的区域，与负责基本数字感的区域基本相同。”  “扫描对比也发现，在判断数学问题和进行语义推理时分别被激活的大脑区域，重叠部分非常微小。”

《心智、脑与教育》第九章 计算脑  这位心理学家的观点，跟我们以前博文的观点非常接近。“通过帮助儿童在基本运算中达到高度熟练和自动化的水平，以解放他们的思维，让儿童能够解决更复杂的问题。” “达到高度熟练和自动化是教育的核心目标，它解放了我们前额叶中的工作记忆资源来做其他事情。”  “算术能力的复杂在很大程度上依赖于数量表征与其他语言或者阿拉伯数字符号形式的表征联结起来的能力”

数学如何塑造人脑   “在一名儿童的成长过程中，他做加法运算时最早使用的方法是费时费力的数数，之后则更多地借助于基于记忆的方法。”   “小学一二年级的有数学焦虑的女教师会影响学生的数学成绩以及他们对数学的信念。”

游里工夫独造微--小平邦彦(Kodaira Kunihiko,1915-1997)传  小平创造了 “数觉” 这个名词。 他说: 了解数学是看出数学的现象来。 这种 “看” 不是用眼睛， 而是凭某种感觉来意会的。他叫这种意会数学的感觉为 “数觉”。 有 “数觉” 的人念起数学来就得心应手得多。

所以说，我们用“数觉”，而不是“数感”，是为了更好地体现出“数学的直觉”。其实，大学本科生阶段，用心的同学们其实也是面临到这个问题的，尤其是对于那些数学能力比较强，智商比较高的同学。

我们有个同学，智商很高，做题能力很强，但是老不上道，学业进步尚处于渺茫的阶段。我就问他，你是不是有这种感觉，题也能做出来，确实是自己做出来的，但是，做出来之后，却仍然觉得自己没有真正掌握这道题，没有直觉上掌握这道题。他承认确实如此，其实，这是很多数学家刚上大学的时候，都会有的感觉，如果没有这种感觉的学生，反倒有可能学不好数学。

这位同学，有是有了，但是做事不到位，并没有给自己设立高标准，一定要达到这个直觉上也懂的程度。