如何研究数学？

武汉理工大学：刘永红

刘永红（Yonghong Liu），Pure and New Mathematics in AI，Editorial Board，和《国际应用数学进展》期刊，编委。

讲起做数学学问来，也有年轻数学家急于求成——望穿秋水般地攻克难题和猜想，其实是本末倒置也。

那么，什么是“本”？我认为，研究数学才是“本”。此时此刻，杠精抬杠会说，研究难题和猜想难道不是研究数学？这么抬杠，工地需要你。我不是开玩笑。

我们想一想，数学是什么？

事实上，数学是从量的侧面去研究和探索客观世界。在人们的印象中，数学是博大精深的，有其独特的普遍性、抽象性以及应用的广泛性。要知道，现代数学家们不是停留在难题和猜想上去发展数学了，他们花更多的精力去关注和研究新事物对数学提出的新的挑战。举一近例：

Epoch AI 携手60多位顶尖数学家，这里面就有著名数学家陶哲轩，他们推出了全新的数学基准FrontierMath。然而，这次AI解题的正确率却不到2%，Claude、GPT、Gemini等大模型全部惨败。这意味着AI向人类发起数学挑战！

我们再想一想，如何研究数学？这是一个非常有趣的问题，也正好是本文的题目。在讨论这个问题之前，我想先“插播”一下丘成桐在视频采访中的一句话，他说，“我为不错的数学家，与伟大的学者如黎曼相比仍有差距。”

是的，那为什么黎曼是一个研究数学的伟大的学者？因为他是一个解决问题人，又是一个提出问题的人，他研究并提出的问题自己解决不了，于是它就成为了猜想，称之为黎曼猜想。用普通老百姓的话来说，万万没想到，一个几何学家给数论学家出了一道难题，这个怪难的难题，不是给像丘成桐博士生出的题，而是给大数学家出的题。事实上，丘成桐看了就逃之夭夭了，因为黎曼猜想大大超出了他的认知范围，好在丘成桐的博士论文选题是自己擅长的几何领域，他经过深入研究，最终取得了了不起的成绩。

总之，研究数学是根源，解决难题和猜想只是结局中的一种形式，尽管它有重要意义，但形式还多着呢，更为可贵的几种形式是，提出一种理论或方法，开辟一个新的研究领域或研究方向，提出难题或猜想等。

一旦开始研究数学，就像在数学王国里探险，其实是在找感觉，这样就进入了觉悟阶段，换句话来说，就是创新性思想进入到意识之中，大脑处于放松状态，自然会引发下意识活动，新的“东西”悄然而至。

怪不得一夜爆红的数学家张益唐一天天往树林子里跑，他在林间散步，就成为他的创新灵感的源泉了。

Cantor是一个研究数学基础的大数学家，集合论的创始人。他说：“数学的本质就在于它的自由。”Cantor研究数学不经历“涅槃重生”，是说不出这一金句来的。它不仅仅是一句名言，更成为了一种象征，代表着数学研究者对美好事物的向往、追求、认知和赞美，意味着对于一切东西，自由是最重要的，这就是精神。

年轻数学家研究了半天，所得到的结果和结论，当然要经过同行评议，这就是觉悟阶段之后的验收阶段，是金子总会发光，但问题是是不是金子，得经得起同行专家严格的验证。

值得一提，觉悟期之前还有两个阶段，首先是预备阶段，也就是奠基阶段，主要是学习专业知识，要切实将作业、思考题当成重要任务来抓。

其次是孕育阶段，要朝着感兴趣的地方使劲，从一个学习者到一个可传授者，来一个华丽转身，成为职业数学家。好比原来只有一桶水，现在要有一江水了，恰似东流入海，乐悠悠。

研究数学人，不仅要有思想，而且还要有“程序”。上面讨论了四个阶段，先后次序不能颠倒，要一步一个脚印。算是我的一句忠告。

试问，你拥有研究数学的全部软硬工具吗？你知道它们的局限性吗？你熟练掌握了数学的“十八般武艺”（方法和技巧）吗？你了解同行的研究成果吗？你对失败（如果万一）做好了心理准备吗？如果都没问题，那么找到研究数学的切入点应该不成问题，只是迟早的事情。

这时候你想解决难题或猜想，也不是不可以，但还要具备两个基本条件：

l  一是，你已发表过高水平的论文，说明可向更高目标攀登；

l  二是，你不受外界干扰、诱惑，生活和工作稳定、有保障，能保持很长时间的兴奋状态，身心健康。

可以说，顶级数学家个个都是独一无二的，例如，Erdös是一个不断地解决难题和猜想又不断地制造难题和猜想的神人，我国的数学家华罗庚、王元、柯召等都成为他最忠实的粉丝。因此，关键所在是，找到属于你自己的研究风格，哪怕是千辛万苦，也是值得的。

最值得回味的是，在我国古代，有一位很很很会研究数学的人，与欧几里得和阿基米德相提并论，他的名字叫刘徽，中国科技界不骄傲不行，真的是不可多得也！