我与薛问天、数森先生关于对角线、基数、无限等数学问题的讨论

       李鸿仪

 本文的最后一句话：如果有耐心仔细看到这里，康托的盲从者、维护者和辩护者们是否会感到羞愧？

     摘要：指出了康托对角线证明中的逻辑错误。在有限公理的基础上给出了无限的定义，并在此基础上给出了潜无限和实无限明确的数学定义及使用规则。指出了基数的数学意义是不清楚的，不能用于研究无限集合的元素数目。给出了实数可数的定理及其证明。对数学界提出了提高严格思维能力、建立正确的数学哲学观、破除迷信等忠告，同时还给出了如何提高逻辑思维能力的具体建议。

    背景：近几年，在十分偶然的情况下，我接触到了数学基础这一领域。最近一两年，我与众多网民和朋友讨论了对角线等问题。这些网友和朋友中有比我更早质疑对角线的（当然质疑的角度和观点各有不同），但也有不少反对质疑对角线的。与这些网友的讨论，尤其是与包括知名人士在内的、反对质疑对角线的人的讨论，使我有机会更详细地整理、阐述了我的观点，而且在某种程度上使我的观点变得更加具有说服力和严密性。讨论还牵涉到基数、无限等数学常见问题，也使我有机会整理并阐述了我对这些问题的观点。就这点来说，我应该十分感谢他们。本文整理了在科学网的啄木鸟专栏（zmn）与薛问天、数森两位网友的一些讨论，主要文章如下：

[1]李鸿仪： 对角线证明可以休矣！

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=755313&do=blog&id=1264991

[2]薛问天：《zmn_0406》http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=755313&do=blog&id=1265458

[3]李鸿仪： 评薛问天先生的《zmn_0406》

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=755313&do=blog&id=1266352

[4]薛问天《zmn416》

 [5] 李鸿仪《0424》数学思维要绝对严格，决不允许引入公理外任何未加证明的命题    http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1268761.html

[6]薛问天《zmn436》这是一条可以严格证明的定理。评李鸿仪先生的《0424》

 http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1270861.html

[7] Zmn-0442 数 森：评李鸿仪《对角线证明可以休矣！Zmn-0403》

http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1271528.html

    这些文章下大多有不少跟贴讨论，本文将梳理这些文章和讨论的大致脉络。为便于阅读，本文先简述康托的证明。   

        康托的对角线证明十分简单（反证法）：

        假定实数可数，则根据可数的定义，可将区间[0，1）内的实数一一列出：

         a₁，a₂ ，a₃，…                 （1）

        现将上述实数写成

       a₁=0.a₁₁a₁₂a₁₃...

       a₂=0.a₂₁a₂₂a₂₃...

       a₃=0.a₃₁a₃₂a₃₃...

       ……

      其中, a_ij表示实数a_i的第j位小数，

      不妨称由其中对角线元素构成的小数    0.a₁₁a₂₂a₃₃...   为对角线小数。

      设

      b=b₁₁b₂₂b₃₃….                      （2）

  且

    b_ii ≠a_ii,（i=1,2,3,…）          （3）

    由于式(3)保证了对于"任何"一个实数 a_i，b中都有一位小数b_ii，与该实数的第i位小数a_ii,不同，这就巧妙地保证了对于 "任何"一个实数a_i，都有

    a_i≠ b, （i=1,2,3,…）         （4）

成立，即b是一个不在（1）内的实数，与“根据可数的定义，可将区间[0，1）内的实数一一列出”矛盾，所以，康托认为他证明了实数不可数。

          上述证明看似无懈可击，而且不乏巧妙之处，因此迷晕了似乎缺乏严格思维能力的主流数学界长达一个多世纪，且至少到目前为止，数学界似乎还没有清醒过来。

 我原先是教热力学的，只是在搞科研时，经常会碰到一些还没有解决的数学问题，所以也写了一些数学论文。在职时基本上数学论文和热力学论文各占半壁江山。

 有一句话说，人类一思考，上帝就笑了。这句话用在某些场合，也是成立的：搞数学的一说严格，搞热力学的就笑了。这么说一定很伤数学家们的自尊心，然而事实就是这样。在严格思维的能力方面，这两类人根本不在同一个数量级上。

 热力学其实是比数学严格得多的演绎科学。热力学非常讲究每个公式是怎么来的，大多数公式都有特定的适用条件。在实际工作中，如果把条件搞错了，那是要发生爆炸等事故的，绝对没有可以浪漫发挥的余地。曾经有一个热力学院士对我说，热力学的这种思想方法可以吃用一辈子。当时我心里并不以为然：不就是适用条件吗？注意一下就可以了。然而现在来看，数学中的很多东西都太不讲究，往往会把在某一种特定情况下得出的东西当作普遍的使用：

 明眼人一眼就可看出：公式（3）左端的下标可以表示实数的数目，而右端的下标可以表示b的小数位数。由于式（3）左右两端的下标相同，这就意味着符合（3）的实数数目与b的小数位数是精确相等的。然而，实数数目与对角线小数位数风马牛不相及，没有任何理由可以认为它们应该是精确相等的，所以不能不考察如果它们不相等，会发生什么情况？

 不难发现，如果实数数目大于b的小数位数，这时式（3）两边的元素数目不相等，故必然会有一部分"多出来的"实数无法出现在（3）的左端。对这部分实数，以（3）为前提的（4）当然也不一定成立！

 例如，设实数数目为m=n+p，其中n为b的小数位数，p为某一大于零的自然数或整数变量，则当n趋于无限时，m也趋于无限，且实数数目比b的小数位数多了p个，对这部分实数，（3）不可能成立，（4）当然也不一定成立！因此，无法排除b是这些实数之一的可能性。

我的主要贡献是叙述了上述事实并给出了相应的定理及证明：

定理1无法保证b不在（1）之内，所以对角线没有证明实数不可数。

证明：将（1）和b分别写成：

 a₁， a₂ ，a₃，…a_m ，

  b_n，

 其中m和n均趋于无限，这样就将无限和有限统一起来了。由于n趋于无限时，无法排除m>n的可能，这时lim_n→∞(m-n)>0, 即实数的数目比b的小数位数多，故存在与（3）式左端无关的实数，继而（4）对这些实数也不成立，故无法排斥b是这些实数之一的可能性，即无法保证b不在(1)之内，证毕。

 有人可能会认为，对角线可以无限延长使得使n=m甚至n>m,从而就可保证b不在（1）内了。这个说法虽然似乎不错，然而，实数数目为何不可以也无限增加使得m>n？难道（1）是有限集？事实上，实数数目与b的小数位数都可以无限地増加，沒有任何理由可以规定m<=n，而当m>n时，公式（4）不一定成立！

 如前所述，当m>n时，并不存在任何必然的矛盾，所以康托所谓的矛盾是在人为规定m<=n后才出现的，与(1)的可数与否并没有任何关系。这就显得十分荒唐可笑了：如果人为制造一个本来并不存在的矛盾，就可以证明一个与此完全无关的命题，那么是否可以先随意制造一个并不存在的矛盾，然后说“证明”了地球是方的？

 由于康托把假定m<=n时才能推出的（4）当做普遍成立的公式，而全世界数学界那么多人一百多年竟然少有人看出这个问题，且至今还“陶醉”在康托的错误中不能自拔，说数学界缺乏甚至严重缺乏严格的思维能力，不过分吧！

 我的另一个贡献是指出了对角线证明中另外一个更明显的漏洞：既然假定（1）是可数的，再增加一个或多个b，仍然是可数的，与其可数假定也没有形成矛盾。

[1]还给出了定理1的另一种建立在潜无限基础上的证明：

证明*：对于任意大的n，总存在m>n，有可能使得b的n位有限小数b_n=a_m,即无法保证b=lim_n→∞b_n不在（1）之内，所以对角线没有证明实数不可数。证毕

 以上是我关于对角线不成立的证明及其说明。以下则是我与薛问天、数森先生的讨论。

 薛先生的主要问题是考虑问题过于简单：一看到对任何n, a_n不等于b_n, 就以为可以推广到普遍情形：对任何n, a_n不等于b了，还自以为很严格，实际上与康托一样，根本不知道这些结论都是在m<=n才成立的，而在m>n时并不成立。

  薛先生的另一个问题是错误地认为，从基数的角度看，假定为可数的（1）与b的小数位数的基数相同，所以它们的元素数目必然是精确相同的。我的回应（整理于我对zmn0406,0416,0436等文的部分跟帖评论）如下：

 误以为可以并试图确定无限集合元素的数目，是提出基数概念的原始动机。

 无限集合元素的数目，不过是在古希腊和中国古代时就已经有了的无限的概念在集合论中的一种应用。

 以为无限的概念是集合论的专利，不过是一种井蛙之见。

 虽然无限的概念古而有之，但似乎还没有人给出一个确切的、公认的定义。而任何一门严格的科学，如果其概念的定义都不清楚，是不可能进行严格的讨论的。

 任何定义，不过是对某种客观或主观存在的事物的界定和称呼，因此只能建立在对事物清楚的认识基础上。无限的定义也不例外。

 一个不争的事实是，无论是自然数还是实数，本身都是有限的。这是研究无限问题时所面临问的基本事实。为了讨论方便，不妨将该事实称为有限公理。

 有限公理，包括自然数在内的实数都是有限的。

 根据有限公理，真正的无限，不可能是指实数或自然数本身，因此就只能局限于它们的变化范围了，即所谓无限，只能是指这些有限值的变化范围没有上界而已。

 根据这个十分简单且清楚的数学事实，不难给出无限的定义：

 定义1当某有限值的变化范围没有上界时，称这个有限值趋于无限。

 林益先生的“无限是有限的延伸”与定义1基本一致。

 根据定义1，所谓无限集合，不过是其元素数目的增加没有上界的一种集合而已。       

 既然没有上界，任何试图确定无限集合元素数目的企图（例如基数概念），就都不过是无视事实、水中捞月、削足适履的做法，除非数学界病了且还没有康复，否则永远不会成功。

 虽然如此，要研究无限集合元素的相对数量，还是很容易的。

 例如，根据真子集的定义可知，任何无限集合的元素数目必定是比其真子集多的。与基数理论完全矛盾。该矛盾是客观存在的，不会因为自欺欺人式的主观不承认就消失，且该矛盾足以推翻任何试图用基数来精确地描述无限集合元素的企图。

 再例如，A∩B=空集时，集合AUB的元素数目必定是集合A和集合B的元素数目之和。

 在定理1中，若m始终大于n，则两者都趋向于无限时，无限集（1）的元素数目就比同样是无限的b的位数多也是一个再确定不过的事实。

 认为只要两个集合的基数是一样的，他们的元素数目就是精确一致的，显然在上述这个例子中也不成立。

 从这里可以看到。无限集元素的数目是一个精确的、严格的概念，而所谓的基数，最多是一个不严格的近似而已，没有意义。

 既然基数这一概念不能用来描述元素的数目，那么其数学意义究竟是什么呢？其实谁也说不清楚。

 而且，一旦对角线被推翻，根本就不存在不可数无限，任何无限集的元素都可以用自然数来描述，哪里还需要基数这一基于原本只能用于有限集的一一对应而得到的不清不楚，不伦不类，不明不白、千孔百疮、充满矛盾的概念呢！

 在数学中引入数学意义不明的概念，本身就是一个不严肃、不严格的行为。本来这也算了：谁喜欢制造学术垃圾，就让他去制造好了。但如果旁人把垃圾当宝，甚至将其当作严格的东西，那就十分可笑了。

 下面再谈一下数森先生的观点。

 数森先生试图给出一个b不在(1)内的一个例子，以推翻我的定理1.

 首先需要指出的是，数学推导是严格的，无论在理解还是在叙述上都不能够有丝毫的偏差。比如说定理1的”无法保证b不在(1)内”，说明b可能在(1)内,也可能不在(1)内，与数森先生说的“保证b在(1)之内”，显然是差了十万八千里。

 因此，即使数森先生真的给出了一个b不在(1)内的具体例子，也不能推翻定理1。

 其次再看看数森先生给出的所谓b不在(1)内的具体例子。

 他设

 a₁=0.000…

 a₂=0.100…            （A）

 a₃=0.110…

 …………

（对应的方阵中，对角线以下元素都为1，对角线及以上元素都为0）

 b=0.111111…，显然对任何正整数n，都满足b_n=a_n+1（其中b_n为b的n位有限小数）。

数森先生的这个例子很有意思：给出了我在定理1的证明*中“对于任意大的n，总存在m>n，有可能使得b的n位有限小数b_n=a_m”这句话的具体例子：b_n=a_m = a_n+1(根据薛先生的思路，既然对于任何n都有的a_n等于b_n+1成立，是否就可以推出对于任何n都有的a_n等于b成立？)。数森先生的观点表面上看似乎也一点问题都没有：对任何n, a_n不等于b, 故b不在（A）内。

 其实不然：

 已知

   b=lim_n→∞b_n

 现定义

   a=lim_n→∞a_n+1

 因为

  b_n=a_n+1               （5）

 故

  b=a                            （6）

 采用潜无限观时，n只能趋于而达不到无限，故极限值a,b均只能接近而不能达到，这时所谓的无限小数b实际上不过是小数位数n可以任意大的有限小数b_n，根据（5）即可知b在(A)内；若采用实无限观，即n能达到无限大（根据有限公理，n是有限数，不可能达到无限，因此所谓的实无限观严格来说只是一种未必可靠的想象），极限值a,b均能达到，故这时a也是A的一个元素,根据（6）可知b在(A)内。

 可见，无论采用潜无限观还是实无限观，b都在(A)内。

 除非对无限小数b采用实无限观，而对(A) 采用潜无限观,才会得出b不在(A)内的结论。

 而在同一个数学问题中，时而采用实无限观，时而采用潜无限观，显然是不可靠的。

 值得注意的是，这里实际上应该是首次给出了潜无限和实无限的确切数学定义及如何正确地应用无限观的实例。由于这些问题在数学界意义重大，且一直含糊不清，所以这里有必要再明确一下

 定义2 认为自然数或实数只能趋于而达不到无限的无限观称为潜无限观; 认为自然数或实数能趋于并达到无限的无限观称为实无限观。

 根据潜无限观的定义，由于无限不可达，所以无限无法完成也没有终点，渐进式的数列极限也只能无限接近而不能达到。由于这时无限小数的位数可以无限地增加，故无限小数通常没有确定的数值。

 根据实无限观的定义，由于无限可达，所以无限可以完成且有终点。渐进式的数列极限也能达到。由于无限小数的位数已达无限，故任何一个无限小数都有确定的数值。

 根据有限公理，自然数或实数不可能达到无限，所以潜无限观才描述了实际的无限过程，而实无限观只是一种想象。

 这种想象对于简化问题很有帮助：在实无限假定下，无限小数有确定的值，从而可以分别把无限循环小数和无限不循环小数视作有理数和无理数，且不可达极限值能参与推导和运算。这些都大大地简化了问题。

 然而毕竟想象与事实之间是有差别的。这些差别有时候微不足道，完全可以忽略，有时候却完全不可忽略，否则就会导致非常荒唐的结果。所以，要时刻警惕这种差别可能造成的错误。

 总之，实无限观只是一种能简化问题的权宜之计，潜无限观才是准绳。

 例如，定理1的证明*就是用潜无限观来进行的。

 正确地使用无限观，能够解决诸如0.999....究竟是否等于1以及是否存在贝克菜悖论等各种问题。而很多所谓数学问题，其实都是因为没有正确地使用无限观而造成的。

 另外，(A)显然只是假定为可数的（1）的一个无限真子集而已。这是因为，很多元素（例如0.0100…）在(A)中是永远也列不出的。既然(A)只是（1）的一个无限真子集，无限真子集之外当然还有（1）的其他元素，因此，即使能够证明b不在(A)之内,也无法排除b仍然是（1）的元素的可能性，与（1）的可数假定并不构成必然的矛盾。

 从这里可以看到，对于任何集合A，如果要用对角线法证明b不在(1)内，首先必须证明集合A并不是(1)的一个无限真子集。对于这一点，数森先生能理解吗？

 这里要注意的是，如果一个可数集合含有无限真子集而且无限真子集排在了前面，由于无限真子集必然是用省略号结束的，所以这时在省略号后就必然存在无法编号的元素。例如，将可数的自然数集合改写成｛1，3，5，...，2, 4, 6，... ｝，其中的偶数就无法编号。也就是说，不能一看到用省略号结束的集合就认为该集合已把所有的元素都一一列出来了，也不能一看到有不能编号的元素，就认为一定是不可数集合了。数学是严格的，必须考虑到所有各种可能出现的情况。

 最后，还要请数森先生防止陷入逻辑循环的陷阱。比如说实数不可数是通过对角线等方法来证明的，在对角线等证明还没有最后完成时，实数是否可数是一个不知真伪的命题。因此，即使数森先生证明了b的数目与实数一样多（实际上不可能严格证明），如果试图以此说明实数不可数，实际上就陷入了毫无意义的用“实数是不可数的”来证明“实数不可数”的逻辑循环。故在对角线等证明还没有最后完成时，关于有多少个b的讨论并没有意义。对于这一点，数森先生能真的理解吗？还有，采用基数等并没有明确数学意义的概念来讨论b的数目，也是不严格的。这点在前面已经讲过了。

 其实实数的可数性根本不需要复杂的推理即可证明：

 定理2 实数是可数的。

 证明：设可在实数轴上任取一实数，将其编号为1，然后再任取另一个数，将其编号为2.....该过程无限地延续下去，而所取的数已经与自然数一一对应了。由于每次取数时，必定有一个数会被取出，故任何一个数都可能被取出，也可能不被取出，不存在永远取不出的数，证毕。

 当然，这个过程是不会终止的。这个很正常：任何无限集合的元素都是永远取不完的，例如，即使随机取自然数也取不完。而且在这个过程中，“数数平等“，哪里可能存在长得“三头六臂”、“与众不同”、永远取不出的b?

 事情本来就如此简单，却被康托误导得无比复杂！

后记                                    

 虽然，在我看来，问题都非常简单且一清二楚，但在我和其他人讨论中，发现会有几类人可能不会或较难接受我的观点。

1）完全搞不清康托和我在说些什么，但又不甘寂寞，爱凑热闹，刷存在感，于是只好“轧苗头”：既然主流数学界认为康托是对的，于是也就站队（其实是冒充）主流数学界了；

2）坚信外国的月亮比中国圆，不相信中国人的平均智商远高于欧美人这一事实，只会跪式、仰望式思维，不会批判式、俯视式思维，总认为外国的东西都是对的，中国人学还学不过来呢，哪里可以怀疑外国的东西啊？相反，对于敢于怀疑外国的东西的人，往往一律本能地加以排斥甚至以自以为“高人一等”、实为极其卑微的洋奴身份自居，居高临下地加以斥责；

3）已经有了先入为主的偏见，或只会死记硬背书本知识、分不清逻辑推理与逻辑循环的人；

4) 逻辑思维能力很差，分不清谁对谁错的人。

        有各种各样的人很正常，世界也因此显得丰富多彩。不过，是金子总会发光，真理的光芒是不会一直被掩盖着的。数学中的伪科学迟早会被扫进历史的垃圾堆，而其制造者、盲从者、维护者和辩护者们，甚至还可能会被钉在历史的耻辱桩上。

    其实，只要把头脑中所有未必可靠的”知识”都清理干净，然后再从头开始一步一个脚印地阅读与思考，我的观点其实并不难理解，甚至可以说是非常浅显的。

    对角线法等只是冰山一角而已。数学中类似的错误太多太多。可以说，所有反直觉的东西几乎都是错的，除了最基本的定义外，建立在无限集一一对应基础上的东西也鲜有可靠的。

      太多的错误，主要应该源于数学界普遍缺乏严格的思维能力和正确的数学哲学观所致，再加上对康托的盲目迷信。为此，我在[5]等给出了对康托的批判和对数学界的忠告：

 康托似乎不但善于在某个场合人为地制造本来不存在矛盾（例如在对角线证明中人为制造的矛盾），也善于在另一个场合抹煞客观存在的矛盾，以为只要说一声"一点矛盾也没有"就可以让客观存在的矛盾消失了。以为只要主观上不承认客观存在的矛盾，这些矛盾就会消失，这在哲学上是非常幼稚，愚蠢的，而且像皇帝的新装那样荒唐可笑：难道只要不承认1+1=3是错的？或者干脆把1+1定义为3，然后1+1就不等于2而等于3了？难道这还不够幼稚、荒唐甚至愚蠢吗？然而，一个非常奇怪的事实是：生怕别人说他看不到皇帝的新装而被排除出主流数学界的数学家们似乎只会仰望着时而聪明、时而愚蠢的康托大唱赞歌，完全失去了动脑的资格和能力：要么重复康托的胡话瞎起哄，要么义正词严、声嘶力竭、不分青红皂白地批判偶尔出现的清醒者，或者对反对者冠以“民科”的帽子予以打压，以为这样就可以彰显自己的官科身份，并把不同的声音压下去，以证明自己的主流地位，或者证明自己看得见皇帝的新装。

  我反对用“官科”和“民科”来划分学术观点。如果一定要划分的话，也应该以科学研究是否足够严谨来划分。根据这个标准，在我这个曾经长期担任学报专职副主编的真正的官科面前，绝大多数康粉及其他们的祖师爷全部是民科。

 科学只尊重事实，对事实不顾不问，自搞一套是没有意义的。

 哪怕完全脱离事实、自说自话搞出来的东西是自洽的，也并不能说明任何问题。比如说1+1=3与1+2=4完全自洽，可以用来指导人们的实践吗？

 所以自恰不过是一个理论能够立足的必要条件，但绝对不是充分必要条件。当然，如果像康托那样连自洽都做不到，那更令人无语。

 有的人认为数学本身就是抽象的，不是事实，所以不需要尊重事实。这种说法是不对的。

 数学既然是从现实世界中抽象出来的，它必然就与现实世界有关。比方说一个苹果加一个苹果等于两个苹果，抽象出来就是1+1=2，1+1=2就是一个必须尊重的数学事实。从这个角度看，数学并不如康托所想是自由的。

 两根平行线在平面上不相交，但在曲面上，则要看如何定义平行线了。比如说如果将地球的经线看作是平行线，则在地球的南极或北极，它们是相交的。

 可见即使是非欧几何，也并非像某些人想象的那样与事实没有关系。

 应该承认，人的直觉并不一定可靠。比方说，“远小近大”就是一种错觉。但是大脑通常会自动矫正这种错觉：没有人认为同一个东西，距离远了就会变小。经过矫正后的直觉，通常是事实的反映，是必须高度重视的。

 相反，如果根据逻辑推理得到的东西是反直觉的，大概率不是直觉错了，而是逻辑推理错了。康托的对角线证明就是一个例子。

 所谓不可数，本身就是反直觉的。既然集合的元素都是互不相同的，这些互不相同的元素，当然可以一个一个列出来，然后用自然数编号，从而与自然数一一对应，怎么可能会存在不可数的集合呢？

 有的人可能会说实数那么多，怎么可能列完呢？

 但这不是理由，就算是自然数，也是列不完的。

 也有的人可能会说对于无理数，要表示也很困难，又怎么能把它列出来呢？

 这同样不是理由，比方说圆周率，我们可以用π来将它列出来。

    还有人可能会说没有人把实数一个一个从小到大地列出来，这同样不是理由，因为同样没有人能把有理数从小到大一个一个地列出来。

    直觉告诉我们，只要实数是存在的，又互不相同，我们就应该可以把它列出来。

所以任何一个具有正常直觉思维能力的人都不会相信存在客观存在却又列不出的实数，这也是很多人对对角线进行质疑的原因。

    但是对角线证明扰乱了人们的思维：看似完美无缺的逻辑思维与直觉相反，人们不知道应该相信什么了。

     数学毕竟是以证明为主的。如果不能严格地从康托的逻辑推理中找出其中的错误，恐怕很难真正推翻这些推理。所以，至少到目前为止，主流数学界并没有接受对对角线的质疑，至于本文之后局面是否有所改观？那也只能拭目以待！

     不过有一点是肯定的，在一般情况下，直觉和逻辑应该是一致的。一旦两者发生矛盾，既不能像直觉主义那样完全无视包括反证法在内的逻辑推理，也不能像逻辑主义那样无视直觉。正确的态度是应该认真地找出产生冲突的原因：如果直觉错了，就要找出造成错觉的原因，如果逻辑推理错了，也要找出其具体错在哪里。

     不寻找具体原因，随随便便说一声“直觉不可靠”，这不但是一种懒惰和无能的表现，而且隐患无穷。

     严格的逻辑思维是可靠的。但是不严格的逻辑思维毫无可靠性可言。如果既没有严格的逻辑思维能力，又要盲目迷信逻辑，那除了哀鸿遍野之外，还会有什么？

     所谓旁观者清，在我这一个与数学界没有任何利益纠葛的人眼里，数学界真是病得不轻啊！

经常编程的人绝对不会迷信自己的逻辑思维能力，而且知道人类的逻辑思维能力其实是很差的，否则哪来的那么多bug？不过常常有初出茅庐的初学者坚信自己反复考虑过的逻辑是没有问题的，一旦通不过就会怀疑机器坏了。这时候旁边的长者通常只会强忍着笑，也不去说他，或许还会建议他去换一台电脑试试，让他自己去碰壁、去体会，以后自然会很快成熟。

    建议数学家们也去多编编程序，这样会比较快地成熟起来，不至于那么多人，那么多年把错得那么离谱的东西当宝。例如，通常编程时对于循环语句的起点和终点是非常注意的，否则程序很难通过。所以，任何一个会编程的人，是很容易一眼就看出（3）中的下标的背后所隐藏的m=n这一隐含假定的。如果再善于思考，比方说考虑如果m>n，会出现什么情况？那么对角线的问题马上就暴露无遗了，哪里会出现局外人反复说了还搞不清东南西北的情况？

     如果有耐心仔细看到这里，康托的盲从者、维护者和辩护者们是否会感到羞愧？