在数理逻辑中，通常把∀x,p(x) 解释为：对任何（或所有）x，命题p(x)成立。

这是不严谨的。

对任何x成立和对所有x成立并不一定是一回事，故不应该混淆，也不应该用同一个符号表示。为此，本文用∀x表示对所有x，用∀^*x表示对任意x。

为了讨论方便，以下把∀称为全称量词，把∀^*称为准全称量词。

容易证明：

∀x，p(x)一﹥∀^*x，p(x)

这是因为，既然对所有的x，p(χ）都成立，对于任何一个x，p(x)当然也成立了。

但其逆命题，

∀^*x，p(x)一﹥∀x，p(x)

就不一定成立了。

为了叙述方便，以下把上述逆命题称为可以将"任何"推广到"所有"即把准全称量词推广到全称量词。

有时候，将“任何”推广到“所有”，似乎是显然的。例如，口袋里任何一个球都是白色的，马上可以得出，口袋里所有的球都是白色的，但有时候就不那么简单了，例如班里任何人只要足够努力都可以得到第一名，并不能推出，班里所有人只要足够努力都能得到第一名， 这是因为，通常只能有一个或数个人是第一名。

再例如，有限或无限大的苹果园里任意一个苹果都可以放到某一个篮子里，并不等于苹果园里所有的苹果都可以放到这个篮子里，这是因为，篮子的容量是有限的，通常不可能放下所有苹果。

因此，严格来说，如果希望把“准全称量词”推广到“全称量词”，是需要经过证明的，例如可以用数学归纳法来进行证明或否证。

数学归纳法的步骤是，若要证明某命题p(n)对所有自然数n成立，则必须证明：

1）n足够小（例如n=1）时该命题成立，即p(1)成立，

2）假设对n=k时该命题成立，则可证明n=k+1时，该命题仍然成立，即若p(k)成立，则p(k+1)成立。

由于其中第一个步骤通常很容易验证，所以关键是第二个步骤。

例如，如果篮子的容量是最多放k个苹果， 则篮子可以放k个苹果时推不出篮子可以放k+1个苹果，因此，任何一个苹果都可以放进篮子，并不能推出所有苹果都能放进篮子。

同理，在花瓶和球悖论中，根据可以将任意第k个球取出，也推不出可以将第k+1个球取出：取出第k个球之前，已有第k+1~10k个球已放入花瓶。

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花瓶和球悖论：假设有一个无穷大的花瓶和无穷多个球，球用自然数编号，执行下面的操作：第一次，往花瓶里放进1至10号球，同时取出1号球；第二次，往花瓶里放进11至20号球, 同时取出2号球.....,无穷次后，花瓶里有多少个球呢？

不要说是中国小学生，就是外国小学生也很容易回答这个问题：每次相当于放进了9个球，第n次操作后，剩下的球的数目是9n个，所以无穷次后，有无穷多个球。

这个结果显然是确定无疑的。

但有的数学家是这样算的:第1次拿出了1号球，第2次拿出了2号球...第n次拿出了n号球，无限次后，所有编号的球都被拿出来了，所以最后没有球。

其逻辑基础是，既然任意一个球都能拿出，那么所有球就都能拿出。

所以，不加证明地以为，对“任何”成立，必然对“所有”成立，是错的，想得太简单了!

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在对角线论证中，也有类似情形：

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对角线论证：根据可列假定将小数a₁,a₂,a₃…….一一列出，

a₁=0.a₁₁a₁₂a_13....

a₂=0.a₂₁a₂₂a₂₃....                    (1)

a₃=0.a₃₁a₃₂a₃₃....

.......

等号右端组成了一个无限大的矩阵。矩阵的行数表示所列小数的个数，列数则表示所列小数的位数。 设

b=0.b₁b₂b₃...                       (2)

 b_k≠a_kk,        （k =1,2,3,...)     （3）

容易证明，对任意k  ，总存在b_k≠a_kk，使得b=b₁b₂….b_k时，a_k≠b，即

∀*k，a_k≠b                                                           （4）

与花瓶和球悖论一样，康托不加证明地将(4)推广至:

∀k，a_k≠b                                                             （5）

从而与(1)已将实数一一列出形成矛盾。

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在以上推导中，在公式(4)及（4）之前一点问题都没有。到目前为止，思维不够严谨的康托及一般数学家的认知水平也就仅到此为止了。但如前所述，从公式(4)到公式(5)需要经过数学归纳法的论证，但这个论证并不成立:对任意k，我们并不知道b_k+1为多少，当然也无法保证b=b₁b₂….b_kb_k+1时，b≠a_k+1，即无法完成数学归纳法的第二个步骤：若对任何n=k时命题成立，需推出n=k+1时，该命题仍然成立。

这里要注意，数学归纳法在证明的过程中，只需要也只能讨论有限的情况，比如我们在证明过程中讨论b时，只需要也只能讨论作为有限小数的b，但结果却可推广到作为无限小数的b。而在证明过程中，就把b当做是无限小数，这在逻辑上是一种循环:把还没有得出推导结果用到推导过程中了。

在没有证明的情况下就贸然将“任何”推广到“所有”，已经是不严谨的了，更何况由于无法完成数学归纳法的第二个步骤，实际上已经否证了可以将“任何”推广到“所有”。

  在我的上一篇博文中，还用数学归纳法非常简单且严格地证明了b始终在(1)内。

所以，对角线并没有证明小数不可列。

混淆全称量词和准全称量词，不但必然造成悖论(例如花瓶与球悖论)，也必然造成错误(例如对角线论证中的错误)。

数理逻辑本身就不严谨，建立在数理逻辑基础之上的数学会严谨吗？

或许，数学需要重新启动？

高度的严谨是包括数学在内的任何科学的基本特点。 纠正康托高举“数学是自由的”大旗而造成的随意、不严谨的学风，是任何一个仍然坚持严谨学风的人的使命。