无限大长方矩阵与集合论

                          李鸿仪  Leehyb@139.com

科学研究和工程设计中比比皆是的无限大长方矩阵是指行数和列数都是无限的，且行数与列数不相等的矩阵。比如，若一个矩阵的行数不断增加且趋于无穷，列数也不断增加且趋于无穷，但两者增加的速度不同，最终使得该矩阵在无限的情况下，行数和列数不相等，那么这个矩阵就是无限大长方矩阵。

      例如，对于二进制小数，n位小数有m=2ⁿ个小数。当n→∞时，可形成一个mxn的长方形矩阵，且这个矩阵的宽（列标数）长（行标数）比趋于0，是无限狭长的。

       对任何矩阵，无论是行标还是列标都是自然数，因此，以小数位数为列标，小数个数为行标组成的无限大长方形矩阵的存在直接证明了:

      ①小数个数与自然数一一对应即实数可数，

      ②小数位数与自然数一一对应即小数位数可数

      ③由于长方形矩阵的行标和列标都是自然数集合但并不相同，所以自然数集合不是唯一的。

      数学史必须重新改写？

      事实是最好的理论家。在事实面前，以往很多被尊为圣典的理论都变得十分愚蠢可笑。例如，众所周知，对角线只存在于有限或无限大的正方形矩阵中。由于小数位数即列数相同，所以上述无限大长方形矩阵与其包含的无限大正方形矩阵的宽相同，但所列出的实数即行数大不相同：与无限大长方形矩阵的行数比较起来，无限大正方形矩阵的行数犹如沧海之一粟，微不足道，但康托居然认为该无限大正方形矩阵中已经列出了所有的实数，从而才建立他所谓实数不可数理论。而且，对角线证明中的第一句话"假定实数可数，就可将实数一一列出..."在逻辑上就有问题:实数集是人们"发现″的第一个不可数集。在此之前，人们并不知道不可数集的″存在″，当然也不可能对可数或不可数集下定义，也不会知道不可数集的元素是不能与自然数一一对应的，更不会知道必须先假定不可数集合可数，才可以将不可数集的元素与自然数一一对应。所以说这句话的前提是已经肯定了不可数集的存在并有了明确定义。这就陷入了逻辑循环:必须先肯定存在不可数集合，然后才能证明存在不可数集合。

再例如，虽然自然数集合的定义是唯一的，但是由于自然数集合的元素是无穷无尽的，只能不断增加，而增加的速度又不一定一样，所以实际上看到的自然数集合并不唯一，比方说无限大长方形矩阵中的行标和列标都是自然数集合，但显然不同。这样康托建立在自然数集合唯一性基础上的理论全部崩塌，由此造成的大量悖论，比如有理数既和自然数一样多，又比自然数多；偶数既和自然数一样多，又比自然数少；部分既小于又等于全体；一维空间和二维空间的实数点数相同；一个无限旅馆可以既客满又不客滿......等等当然也都消失不见了。

在真理面前，最直接的受益者是未来的学生们:数学将变得简单易学，而且也不需要再为那些错误的东西无谓地耗费脑汁、并进而把自己的脑子搞坏:任何一个把错误当作真理的人哪里还会认识真正的真理啊？

在真理面前，未来的数学家们也是受益者，他们将不再被悖论所困，可以有更多的精力去做更有意义的事情。

在真理面前，最大的受益者是全人类，学生们和数学家们不再被错误误导，就会变得更加聪明，全人类当然受益。

然而，有的数学家或许会感到恐慌:不但他们心目中的神如康托，罗素，希尔伯特和戴德金走下了神坛，而且他们所赖以生存的饭碗可能也会不保。

其实他们搞反了。如果数学中的一切都是那么完美，他们除了无聊地唱赞歌以外，还有什么事可做呢？相反，数学中存在错误，他们才有正经事可干:很多领域需要推倒重来，必然需要大量的数学家来做具体的工作，"就业岗位"当然会更多。

当然，那些毫无批判性思维能力、无原则地以维护错误为天职的人，比如说薛问天们，是否应该重新考虑一下自己的人生意义并改弦易辙或改弦更张了？ 毕竟，坚持错误是没有出路的。

包括知乎在内所有出版单位中的保守派们，是否也应该改变自己毫无逻辑判断力，只认书本知识、反对创新的错误政策取向了？

如果石器时代就有出版物且出版政策就是保守的，那么我们现在可能还停留在石器时代。

病树面前万木春。数学家们携起手来，向人类思维的更高峰前进吧！