摘要:用严格可靠的数学归纳法，本文的定理1和定理2分别证明了无限集合不可能与其真子集一一对应以及自然数集合不是唯一的，定理3 则证明了无限小数是可数的。由于本文的推导严谨可靠，同时给出了远比基数理论明确、可靠得多的比较无限集合大小的方法，从而揭示了康托集合论的不严谨本质，还严肃科学应有的本色。

       关键词:集合论；数学归纳法；无限观

       关键词:集合论；数学归纳法；无限观

      无论是皮亚诺公理的+1后继运算还是无限公理归纳集的后续运算(两者本质上没有区别)，都是永远无法结束即无法完成的，建立在后继运算可以结束或完成这一假定(以下称为假定1)基础上的所谓存在已包含全体自然数的集合，当然也只是一个假定(假定2)，建立在假定2基础上的所有理论，例如，存在一个唯一的自然数集合(假定3)，当然也都只是假定了。

        如果这些假定不会引起任何矛盾和悖论，倒也是可以研究的。 然而，从反证法的角度来看，只要这些假定引起一个矛盾，就足以证明了所有这些假定都是错的。

        事实是，这些假定会引起大量的错误和悖论(见zmn 1189或https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&quickforward=1&id=1449012)

       因此，只存在正在进行中的、外延不断扩大的自然数集合，不存在已经完成的、已包含全体自然数的自然数集合。

       可能有人会困惑:一个外延在不断变化中的自然数集合似乎难以研究。

        这其实也应该是康托当初感到困惑的地方。

        实际上，自然数集合的每一个元素都是自然数，因此完全可以用数学归纳法来研究与自然数集合有关的命题，而不需要考虑自然数集合的外延究竟是固定的还是变化的。

        显然康托并没有想到这一点，所以误以为集合的外延必须是固定的，才能够进行可靠的研究，从而人为规定了集合的外延是固定的，这极大地扭曲了事实，不但反而把问题复杂化，而且还导致了大量的悖论。

       用数学归纳法研究自然数集合的任一命题A其实非常简单，只要把自然数集合先看成是一个元素数目为n的有限集合，然后，先验证

        ①当n=1(或0)时，A成立，

        然后证明

        ②假定n=k时A成立，则n=k+1时A也成立，

        根据数学归纳法的原理，命题A对自然数集合内的任一自然数都成立，即A对自然数集合成立。

       例如，当集合的外延在不断增加时，N1={0}UN显然不能与真子集N={1，2，3...}一一对应。

       这是因为，在N的外延增加过程中，N1的外延也必然随之增加，但N1始终比N多了一个元素，即N1中永远有一个元素在N中没有原像，两者不可能一一对应。  

        用数学归纳法可以更清楚地证明这一点:

        引理(证略):任何两个有限集合，其元素能够建立一一对应关系的充分必要条件是两个集合的元素数目相同。

        定理1:N1和N的元素不可能建立一一对应关系。

        证明，①N={1}时，N1={0，1}，N和N1的元素数目不同，由引理知，两者的元素无法建立一一对应关系。②假定N={1，2，3，...，k}即N1={0，1，2，3，...，k}时N和N1的元素不能建立一一对应关系，由引理知它们的元素数目不同，则N={1，2，3，...，k+1}即N1={0，1，2，3，...，k+1}的元素数目显然也不同，由引理知它们也不能建立一一对应关系，因此，由数学归纳法原理可知，无限集合N与N1的任意元素均不能建立一一对应关系。证毕

        另一个例子是:集合N={1，2，3.

...}和N′={2n-1，2n丨n∈N}的元素都是递增的正整数，因此都是自然数集合。用数学归纳法很容易证明，

        定理2:N′的元素数目是N的两倍，这里，元素数目是指对元素进行计数得到的结果。

        证明:①n=1时，N={1}，N′={1，2}，N′的元素数目是N的两倍；②设n=k时，N′的元素数目是N的两倍，则n=k+1时，N增加了一个元素而N′增加了两个元素，故N′的元素数目仍然是N的两倍，证毕

        显然，存在大量不同的自然数集合，例如，集合N"={3n-2，3n-1，3n丨n∈N}就是与N和N′都不相同的自然数集合。

        定理2的证明虽然非常简单，但是意义重大，至少说明了

        ①N与N′是两个不同的自然数集合，因此，自然数集合不是唯一的。

       ②虽然我们不可能给出任何一个自然数集合元素数目的具体数值，但是要证明它们的相对数值却很容易，也就是说，无限集合元素数目这个概念是有意义的，而且在比较集合的大小时，比基数概念显然要明确、可靠得多。例如，从元素数目的角度来看，上述N，N′，N″三个集合的大小互不一样，但是从十分粗糙的基数角度来看，居然是一样的！

        定理3 :十进制无限小数是可数的。

        证明:无限小数是指位数无限多的小数。小数的位数只能用自然数表示，而自然数集合也是无限的，所以可以把无限小数定义为其位数与自然数集合一一对应的小数，而自然数集合内的每一个元素都是自然数，所以可以用数学归纳法研究。显然，对10进制小数，当①n=1时，共有0.0~0.9这10个小数，可数。②假定n=k时可数，则n=k+1时，小数数目是原来的10倍，仍然可数，由数学归纳法的原理可知，无限小数可数。证毕

        对于其他进制小数的证明类似，这里不再重复。

        根据上述3个定理，我上一篇博文中的各种观点就都可以更清楚，更严格地推出来了。

       这些观点是:

       所有和无限有关的集合论悖论，例如有理数悖论，伽利略悖论，无限旅馆悖论，一维空间和二维空间实数点数目相等悖论，同心圆悖论，部分等于全体悖论，基数在比较集合大小中的悖论，一一对应中的悖论，存在却不可列悖论等均不再成立。

       以所谓无限旅馆悖论为例，该悖论不过是希尔伯特为了形象化地叙述定理1的矛盾命题"N1能与其真子集一一对应"而提出来的，现在既然定理1已被证明，其矛盾命题自然已不再成立，所谓无限旅馆悖论自然也就不成立了。

        另外，康托提出实无限观是为了消除潜无限观的一些缺点，比如，用潜无限观无法消除芝诺悖论。然而，如前所述，实无限观本身是一个会导致大量错误的假定，不能成立。

       在我上一篇博文中，提出了一种科学的无限观，不但可以摒弃错误的实无限观，而且可以消除潜无限观的所有缺点。