存在全体自然数吗？

李鸿仪Leehyb@139.com

存在不存在全体自然数，要靠推理和证明来解决，而不能凭想当然甚至凭愿望来说。

有的人很喜欢全体自然数这一概念。这是因为一旦存在这个概念，事情就会变得非常简单。比如说自然数集合如果包含了全体自然数，那么这个自然数集合的外延就是确定的，而且这个自然数集合也是唯一的，事情该多简单！

然而，，这只是一种简单化的思维方式。科学的方法是必须证明或者证伪全体自然数的存在，既没有证明也没有证伪，那就不是科学，而是伪科学了。

人们更多的是把它看做是一个定义或规定，然而，如果不能证明存在全体自然数，这个概念怎么可以出现在定义和规定中呢？比如说鬼神是不存在的，我能在定义或规定用到鬼神这一概念吗？

自然数源于人类最原始的数学活动:计数。比如说我有2头牛，他有100只羊等等。人们最初用的自然数数目都是有限的，但随着人类的进步，所用到的数越来越大，而且好像看不到有尽头，于是人们认为自然数的数目应该是无限多的，才能保证一定够用。

皮亚诺公理规定0（或1）是最小的自然数，然后利用后继数的概念(可惜皮亚诺公理关于后继数的定义不清楚，容易产生歧义，其中的第五公理的叙述也不够严谨)，用0定义1，用1定义2...，这个递推式定义过程是永远不能完成的，于是就产生了无限多的自然数。

在回答这些无限多的自然数能不能形成皮亚诺第五公理所述的全体自然数这一问题之前，我们不妨先讨论以下问题。

假定人类已经得到永生，且地球的空间和资源都是无限的，地球上的人就会越来越多，甚至还可能移居到其他星球，显然，任何一个人都知道这时候不可能存在一个已经包含了全体人类且人口数量不再增加的全体人类的集合。

定义这样一个全人类的集合是与事实严重冲突的，由此建立的理论必然会导致各种矛盾。

同样，自然数的数目可以通过后继定义不断增加，因此把自然数集合抽象成一个已经包含了全体自然数的集合与事实严重冲突，这种抽象必然会导致大量的错误。

为了更详细地讨论这个问题，假定有以下四个命题，

A:自然数集合的元素通过后继运算而增加的过程是不能完成的。

B自然数集合的外延是固定不变的。

C自然数集合是唯一的。

D 存在着包含全体自然数的集合。

很容易用B证明C:

如果两个自然数集合X，Y的外延都是固定的，就可以用外延公理证明，这两个集合是同一个集合:任意一个属于Ⅹ的自然数n显然也属于Y，反之亦然。

也很易用C证明D(反证法):

如果自然数集合只包含部分自然数集合，就可以存在两个各自包含不同的自然数的集合，与C矛盾。

用D来证明B则更简单:既然自然数集合已经包含了所有的自然数，它的外延当然是确定不变的。

这样，B，C，D都可以互推，因此是三个互为充分必要条件的命题。如果其中任何一个是错的，另外两个也必然是错的。

但其中命题A是无穷公理和皮亚诺公理所必须的:如果后继运算能够完成，就不可能产生无限多的自然数，又哪里来无限的自然数集合？

但A和B显然互相矛盾:既然后继运算不能完成，自然数集合的外延就必然在不断增加，永远不可能形成外延固定的自然数集合。

所以只要承认A，则B，C，D就都不成立。

有的人居然试图用D来推翻A，以符合无限可完成这一所谓现代实无限观。但其隐含的假定就是先入为主地认为D是正确的。但凭什么说D是正确的，其所描写的集合究竟是客观存在还只是主观臆想？有证明吗？

事实上，如同不存在全体人类这一集合一样。由于产生自然数的过程永远不能完成，所以永远不可能形成所有自然数这一集合，这是因为，只有假定形成自然数的过程可以完成，才有可能形成全体自然数。

所以D是证明不了的，又怎么能用D来推翻A呢？

 相反，要证明D不成立倒是非常容易:

命题1:不存在包含全体自然数的集合。

证明(反证法):假定存在一个已经包含了全体自然数的集合Ⅹ，由于自然数是无限多的，因此Ⅹ是无限集合。但是由于X已经包含了全体自然数，即已经没有其他自然数可以再加入其中，X的元素数目是固定不变的。但自然数集合之所以是无限集合，在于且仅在于其元素可以无限增加，因此Ⅹ是有限集合。矛盾！所以Ⅹ不存在 。证毕

命题2同时推翻了C和D:

命题2对集合N={1，2，3...}和N′={2n-1，2n|n∈N}，N′的元素数目是N的两倍，这里，元素数目是指对元素进行计数得到的结果。

  证明， 分别用n和m表示N和N′在有限时的元素数目，由于N每增加一个元素，N′增加两个元素，故在有限情况下，两个集合的元素之比为m/n=2，则n→∞时，Lim  (m/n)=Lim(2)=2，证毕

 这里要注意，无论是有限集合还是无限集合，元素数目都是对元素进行计数得到的结果，这个定义是明确的。

 定义是不是明确与能不能得到具体数值是两回事。例如，在物理学中，电位是指单位正电荷在静电场中某一点所具有的电势能。这个定义是明确的，但电位的绝对值却不能直接得到，这是因为电位的大小取决于所选的零电位点，而零电位点的选择是任意的。

再以无限集合为例，虽然元素数目的定义是明确的，但是我们并不能得到计数结果的绝对值，只知道计数结果是无穷大，这个很正常，否则还能叫无限集合吗？即使是无穷大，也是有计算意义的，例如，在上例中，两个无穷大之比是2。

这里要注意①这两个集合都是无限的自然数集合，而不是有限集合；②集合是由其外延决定的，这两个集合的元素数目不同，外延自然不同，因此是两个不同的自然数集合。

 命题2同时推翻了C和D:既然存在不同的自然数集合，哪一个才是包含了全体自然数的集合？           

 自然数集合不唯一的原因其实非常简单:由于自然数元素数目增加的过程永远不能完成，所以永远只存在正在形成中的自然数集合，而不存在已经完成了的自然数集合，而正在形成中的自然数集合有的形成得快，有的形成得慢，当然就不一样了，例如N′的形成速度就是N的两倍，所以在任何时候，其元素数目都是N的两倍。

 误以为自然数集合是唯一的，是大量集合论悖论的根本原因，详见(https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&quickforward=1&id=1449012)。

 数学需要严格的证明，不能把想当然甚至主观愿望当做真理。比方说命题B，C和D都是想当然，而且都可以证明是错的。

命题2的另一个重大意义是给出了用元素数目来比较集合大小的方法，比所谓的基数理论要精确可靠的多。例如，根据基数理论，N和N′这两个集合都是自然数集合，基数相同，但是它们的大小显然不同。

 如果把D看作是一个不需要证明的规定或定义，那我在这里就要严肃地批评所有这样想的人:定义或规定并不是任意的，至少不能与其他相关命题或事实矛盾，比如如果把D看做规定或定义，就和显然正确的A矛盾，而且也完全不符合事实。这是不允许的。

这是因为，如果一个定义或规定可以与一些其他的相关命题或事实相矛盾，那么引入这个定义或规定以后，除了引入一大片矛盾以外，还会有什么结果？

我是学热力学的，记得年轻时候听一位热力学院士(胡英)说，热力学的思想方法即每一个公式都是有适用范围和条件的，可以终身受用。当时我很不以为然，不过就是一个最起码的适用条件吗，有什么可多讨论的？现在看来并不其然。

人天生有把在局部范围得到的规律推广到一般情况的倾向。这种倾向并非一点意义也没有:万一在局部情况下观察到的规律恰恰是普遍规律，这种方法就可以帮助他迅速地把局部规律普遍化。但这种方法的负面作用是常常会把没有普遍意义的局部规律像井蛙观天那样错当成普遍规律了。

以集合论为例，对于有限集合，其中的每一个元素都是确定的，外延当然也是确定的。但如果把这个局部规律推广到无限集合，如前所述，由此还会造成的一系列自相矛盾。

余月半说的将勾股定理推广到一般三角形这一笑话，也是同样的错误。

另一个例子是数理逻辑中的全称量词。在数学中，如果某性质对集合中任意一个元素都成立的话，就认为该性质对全体元素都成立。粗粗看来，这似乎天经地义，但仔细推敲，却很容易发现这样想的人头脑还是太简单了。如果某元素具有某一个性质，且并不影响其他元素也具有这个性质，倒是可以这么说。否则就不一定成立。例如，只要足够努力，每一个人都可以考90分以上。这时候某一个人考90分以上，并不影响其他人也考90分以上，所以这时候，只要足够努力，每一个人都可以考90分以上就等于只要足够努力，所有人都可以考90分以上，一点问题都没有。但如果把"只要足够努力，任何一个人都可以考第一名″说成"只要足够努力，所有人都可以考第一名"，显然就错了。这是因为，第一名通常只有一个，如果某一个人得到第一名的话，其他人通常就不能再得第一名。这时候任意就不等于所有。另一个例子是苹果园里任意一个苹果都可以放入篮子，并不等于苹果园里所有苹果都可以放入篮子。篮子的大小是有限的，当篮子装满以后，其他苹果就无法再放到篮子里面了。至于无限集合，把任意推广到所有就更需要充分理由了，例如，数学归纳法只能用无限递推的方法证明某命题对任意自然数成立，这是因为，无限递推的方式可以达到任意一个自然数。显然，如果存在所有自然数这一个概念，我们可以因此说，数学归纳法可以证明某一命题对所有的自然数都成立。然而，如前所述，由于产生自然数的过程永远不能完成，所以永远不可能形成所有自然数，因此，数学归纳法可证明某命题对所有自然数都成立这一说法是不严谨的。皮亚诺公理的第5公理要做相应的修改。

例如，很容易用数学归纳法证明:我们可以写出任意一个自然数的数值，但如果把它说成可以用数学归纳法证明，我们可以写出所有自然数的数值，显然与事实不符。

不要小看这种不严谨的危害，正是这种不严谨，才使得人们误以为后继运算可以产生所有的自然数，从而形成外延固定的，已经包含所有自然数的唯一的自然数集合这一导致大量悖论的重大错误。

由于基础理论的错误，集合论所有的后续发展也都建筑在错误的理论基础上，需要批判和纠正。

数学需要的是绝对的严谨。任何哪怕是一丁点儿的不严谨，都可能导致数学相关分支理论基础的大面积崩塌。

      其实，在所有认为存在全体自然数或自然数集合是唯一的人的潜意识中，都认为自然数是能数完的，也就是说自然数序列是有一个尽头的，所以才能够数完并形成全体自然数。但如果你问他这个尽头在哪里？他就说不上来了。

典型的用想当然代替事实！

       本质上也是把对有限集合的数数经验毫无理由地推广到了无限集合。

       事实上，即使你给他无限的时间，也就是说，即使他能够数到无限多个自然数，他也不能把自然数数完，这是因为:永远可以有新的自然数产生！

无限即使能够达到，也是永远完成不了的。

       这才是科学的无限观！

康托的威望建立在他建立了大量反直觉的命题(这些命题都以存在已经包含全体自然数的、唯一的自然数集合为基础)，主流数学界中却几乎没有人能找出这些命题中的逻辑错误。

其实只要思维足够严谨，且根本就不迷信任何权威，要找出这些命题中的逻辑错误并不困难，这说明，由于盲目迷信和自我封闭，且对悖论和自相矛盾麻木不仁，主流数学界在集合论方面还停留在100多年前的水平，需要提醒主流数学界注意这个问题，并自觉地提高对自相矛盾的警觉性和敏感性，加强批判性思维能力的自我培养。