实小数与自然数之间能否建立一一对应？

在数学中，双射（也叫一一对应）是一种特殊的函数关系。

     对于集合A到集合B的一个函数f，如果它满足两个条件：一是单射，也就是对于集合A中任意不同的两个元素  ai 和  aj ，都有   f(ai)≠f(aj)  ，即不同的自变量对应不同的函数值；二是满射，即对于集合B中的任意元素 b  ，在集合A中都存在元素 a，使得 f(a)=b ，也就是集合B中的每个元素都能通过函数f找到集合A中对应的元素。 当一个函数同时满足单射和满射这两个条件时，就称这个函数f是从集合A到B的双射

现在把集合A看作以0~1之间的实数为元素的集合，B看作自然数集合N。随机任取实数集之内的某一实数，将其与自然数集中的1对应，再任取实数集之内的另一实数，将其与自然数集中的2对应......上述方法可以一直延续下去......

在上述方法中，我们找不到任何一个实数是不能用随机方法取到的，所以任何一个实数都是可以对应到某一个自然数，同时实数集中任意不同的两个实数，都对应不同的自然数，这样就存在着实数集到自然数集的单射；另一方面，我们也找不到任何一个自然数是无法与某一实数对应的，这是因为，实数是无限多的，因此对于任何一个自然数，总会有一个实数与其对应。这样我们就证明了用上述方法建立的从实数集到自然数集的单射就是满射。

这里需要注意两个问题，①取一个数并不是取一个指定数值的数，而是取任意数值的数，只要取到的数和以前取到的数不重复就可以，如果重复的话可以重新取；②这个过程是永远不会完成的，这个很自然，就是自然数或有理数，我们也永远取不完，更不要说实数了，也就是说总会有一些实数是我们还没有取到的，但只要我们能保证不存在一个数是永远取不到的，就等于保证了任意一个数都是能取到的，这就足够了。③由于数是随机取的，因此不可能取出来的数正好都是实数集的某一个或某几个子集里的元素，也就是说，随机取出来的数只能是在全集中的数。

所以，任何试图证明实数不可数的企图都不会成功，即使“证明”了， 也必然存在错误。