n→∞时能否用数学归纳法？

要回答这个问题，首先必须明确n→∞在数学分析中是什么意思？

在数学分析中，

若数列{an}滿足，对于任意正数M>0，总存在正整数N，使得当n﹥N时，|an|﹥M，称数列{a_n}发散于无穷大，记作a_n→∞或或lim _n→∞a_n=∞

设a_n=n， 上述定义可以改写为，

若数列{n}滿足，对于任意正数M>0，总存在正整数N，使得当n﹥N时，|n|﹥M，称数列{n}发散于无穷大，记作n→∞或lim _n→∞n=∞

由于M是任意的，由此可见，所谓n→∞，本质上不过是可以取无界数列1，2，3……任意大的项的值而已，由于再大的项也是自然数，所以可以用数学归纳法来研究n→∞。

这里要注意，无论是M，N还是n都是定义在实数域内的，因此n→∞可以只在实数域内研究，这时，并不需要定义在实数域外的所谓超穷数或无限数的概念。

n→∞描述的是一个过程，目标是∞，那么，n是否能达到∞呢？

假定n每增加1所需要的时间是零秒，则时间t>0时，n=？

显然这时候n的值已经大到不知道什么程度了，这时，不妨称n达到了无限。

如果说n趋向于无穷大是说n任意大，则n达到无穷大可以表示为n已经大到不知道多少大了。

当然，再大的n还是自然数，所以这时候数学归纳法还是可以用。

有趣的是，n可以达到无限大这一性质，可以用来求极限。例如设n达到无限时，1/n>0，则可设1/n=ε>0，即n=1/ε，则ε为任何大于零的值时，都可确定n的值，即n的值是可知的，并没有达到 “不知道多少大” 的程度，即并未达到无限，矛盾，从而证明了n达到无限时，1/n=0（1/n<0是不可能的，所以不需要考虑）。可见，所谓数列极限，其实就是n达到无限时数列的值，如果不考虑计算所需要的时间，所有数列的极限都是能达到的。

这其实已经比数学分析进了一步:根据数学分析的极限定义，我们并不能得出极限是可以达到的结论。

由于能够达到无限，以下就用→=表示趋于或达到无限。

本文下面所说的“n→∞”或“n→=∞”，与这个n表示具体是什么数学对象无关。例如，n可以是集合中的元素数目，也可以是无限大矩阵中的行数或列数，还可以是数值计算中的网格数等等。

 既然可以采用数学归纳法来研究无限问题，所有的无限问题都可以从有限出发来进行研究，例如，所谓无限集合，就可以定义为元素数目n→=∞的有限集合，即把有限集合的元素数目n看成是一个变量。然后令n→=∞，就定义了一个无限集合。

这里要注意，该定义下的无限集合的外延是可变的，这似乎与人们习惯中的外延固定的集合概念不一样。事实上，在实数域内，容易证明所有外延不变的集合都是有限集合：

外延不变→所有元素不变→元素数目（不论如何定义）不变→元素数目为常数→元素数目为有限的自然数→为有限集合

所以我们不可能在实数域内定义一个外延不变的无限集合。这样，将无限集合定义成一个外延可变的集合就是唯一正确，实际也是再自然不过的事了。而传统集合论把只适用于有限集合的所谓集合外延的确定性推广到无限集合，在逻辑上是完全错的，本质上是混淆了有限集合和无限集合的区别。这也是本文之所以这样定义的原因。

在此定义下，一切都会变得一清二楚，例如，任何在有限情况下都无法成立的错误命题当然不可能用数学归纳法推广到无限情形，因此也都无法借口“这是无限的特点”来藏污纳垢了，例如，很容易证伪“无限旅馆悖论”，“无限集合可以与其真子集一一对应”，∞+1=∞等。

例如，容易证明，N={1，2，3……}与N1={0}UN不能一一对应:

设N的元素数目为n，则n=1时，{1}与{0，1}不能一一对应。设n=k时，{1，2，3……k}与{0，1，2……k}不能一一对应，则n=k+1时，{1，2，3……k}U{k+1}与{0，1，2，3……k}U{k+1}显然也不能一一对应，即n→=∞时，N与{0}UN不能一一对应。

数学归纳法也可以用来证明对角线论证是错的:

我们知道，我们可以根据可列假定将小数a₁,a₂,a₃…….一一列出，

a₁=0.a₁₁a₁₂a_13....

a₂=0.a₂₁a₂₂a₂₃....                                                                (1)

a₃=0.a₃₁a₃₂a₃₃....

.......

等号右端组成了一个无限大的矩阵。矩阵的行数表示所列小数的个数，列数则表示所列小数的位数。 

与无限集合的定义类似，可以将m×n矩阵中的m和n至少有一个→=∞的矩阵定义为无限矩阵。

小数的个数显然比小数的位数多得多，以二进制小数为例，每增加一位小数，小数的个数就要翻倍即乘以2，十进制则要乘以10，所以（1）不可能是正方形矩阵。

如果从集合论的角度来看，对二进制小数，列数与N一一对应时，行数与N的幂集P(N)一一对应， 也不可能是一个正方形矩阵。

用数学归纳法则可证明，小数矩阵是当小数位数n→=∞时的(2ⁿ)Xn长方形无限矩阵，这里，n也是列数或对角线的长度，n虽然可趋于或达到无限，但永远不可能比2ⁿ更大。

用数学分析的方法也可证明，n→∞时，lim(2^n/n)=∞，即矩阵中的行数是列数的高阶无穷大。当然是长方形矩阵。

以上几个方法都证明了(1)是一个无限大的长方形矩阵，但康托却把它当做一个无限大的正方形矩阵来处理，产生矛盾当然不奇怪。

用数学归纳法可以证明: n→=∞时，对角线只能保证b

b=0.b₁b₂b₃... b_n，                                                                      (2)

 b_k≠a_kk,             （k =1,2,3,...n)                                                （3）

不等于2ⁿ个小数中的a_1，a₂,，a_3，….a_n，即

  b≠a_k（k =1,2,3,...n)                                                                （4）

但无法保证不等于另外2ⁿ-n个小数,即无法保证

 b≠a_k（k =n+1,n+2….2ⁿ)                                                             (5)

   也就是说，虽然对于任何大的n，总能使（4）成立，但却不能使得（5）成立。即无法保证b不在(1)里面。

注意，公式（2）到（5）里的n并不是常数，而是一个→=∞的变量，因此，这里讨论的并不是有限，而是无限。

 由于康托实际上错误地把(1)看成是一个行数和列数严格相等正方形矩阵(相等性假设)，实际上只推导到(4)就以为是证明了实数不可列，而没有考虑到(5)。

   所以，对角线并没有证明实数不可列

 由于无限长方形矩阵的行数和列数都是自然数集合，所以无限长方形矩阵的存在直接证明了自然数集合不是唯一的。

自然数集合的非唯一性也可以根据其定义来证明:由于无限集合是元素数目n趋向于或达到无穷大时候的有限集合，对于自然数集合，无限的自然数集合是当n趋向或达到无穷大时的{1，2，3…n}，例如，当n→=∞，m→=∞但n≠m时，A={1，2，3…n}和B={1，2，3…m}就定义了两个不同的无限自然数集合。容易证明，当m=2n时，①B的元素数目是A的两倍②对任意n，元素n+1~2n属于B但不属于A。

而自然数集合的非唯一性将直接导致康托几乎所有反直觉的东西全都是错的（见我以前的博文）。

通常，所谓自然数集合唯一性的证明是根据其定义:由全体自然数组成的集合而出来的。然而这个定义是自相矛盾的:既然已经包含了全体自然数，其外延必然是固定的。如前所述，实数域内外延固定的集合都是有限集合，而全体自然数的集合显然不可能是有限集合。

其实，存在长方形无限矩阵这一事实也证明了不存在全体自然数的集合:行标和列标都是自然数集合但不一样，哪一个才是包含了全体自然数的集合？

用数学归纳法证明小数可列也变得轻而易举:以十进制小数为例，[0，1)区间内1位小数共有10个，可列，设k位小数可列时，只要证明k+1位小数仍然可列即可:k+1位小数数目是k位的10倍，当然仍然可列。

要将小数一一列出也非常容易:先例一位小数，再列二位小数……

有的人可能认为，这样列出的都是有限小数，列不出无限小数。但如果每列一个小数只需要零秒，时间t﹥0时列出了多少小数？显然我们是说不出这个数字的，说明已经达到了无限，当然也就把无限小数列出来了。相反，如果我们只能列出有限小数，这时候列出的小数数目必然是有限的，即还没有达到无限。

 另外，自然数永远可以通过加1不断增加，而所谓达到无限，也只不过是我们不知道这个自然数大到什么程度，但其本身还是自然数，所以还是可以通过+1不断增加，也就是说，无限虽然能够达到，但永远不会完成。认为达到无限就意味着无限完成了，不但不符合达到无限的定义，也与皮亚诺公理和无穷公理矛盾:这两个公理都认为，自然数是永远有后续的，即可以通过+1不断增加。而且，无限的不可完成性，还可以避免一些逻辑错误，例如，把无限集合看作已完成了的、外延不变的集合。如前所述，实数域内，任何外延不变的集合都是有限集合。