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背景:我与很多认识或不认识的数学界人士讨论过康托对角线证明中的问题,其中包括代表主流数学界的院士和网上较有名的人物。
以下先简述康托的证明和我的看法,至于其他人的观点与讨论过程,因为比较长。以后再整理。
康托的对角线证明十分简单(反证法):
假定实数可数,则根据可数的定义,可将区间[0,1)内的实数一一列出:
a_1,a_2 ,a_3,… (1)
现将上述实数写成
a_1=0.a_11a_12a_13...
a_2=0.a_21a_22a_23...
a_3=0.a_31a_32a_33...
……
其中,a_ij表示实数a_i的第j位小数,
不妨称由其中对角线元素构成的小数
0.a_11 a_22 a_33…
为对角线小数,
令b=b_1b_2b_3….
且b_i不等于a_ii,(i=1,2,3,…),则对任意n(n=1,2,3…),b_n=b_1b_2b_3….b_n不等于a_n(n=1,2,3…), 即b是一个不在(1)内的实数,与“根据可数的定义,可将区间[0,1)内的实数一一列出”矛盾,所以,实数不可数。
上述证明看似严密无比,也因此迷惑了不少人。然而,一句话即可推翻该证明:
对于任意大的n, 对角线只能保证b_n不等于a_1,a_2,a_3,… a_n中的任何一个, 却无法保证b_n不等于a_n+1,a_ n+2,a_ n+3,… 中的任何一个。
换言之,除非a_n是(1)中的最后一个小数(这当然是不可能的),否则对角线就无法保证b不在(1)之内,即并没有形成必然的矛盾,反证不成立。
以上表明,如果某命题对任一元素成立,并不一定意味着对所有元素成立,对角线就提供了一个很好的例子:
对任一n,对角线永远只对其中包括a_n在内的第一部分a_1,a_2,a_3,… a_n有效,对第二部分a_n+1, a_n+1,a_ n+2,a_ n+3,…无效,怎么可以认为对全部元素有效?
其实在日常生活中,“任一”也不等于“所有”,例如,你拿着一个篮子到果园去摘果子,果园里的任一个果子都可以放到你的篮子里,但你能把果园里的所有果子都放到篮子里吗?
另一句话也足以推翻该证明:
即使真的能找出不在(1)内的b, 也不过是在无限集合中增加了一个元素而已,并不能以此改变无限集合的基数,故不足以推翻原可数假定,反证不成立。
其实,按照康托的思路,如果真的能找出不在(1)内的b(可惜找不到!),是可以推翻可数假定的,但问题是,这样一来,又与“在无限集合中增加了一个元素而已,并不能以此改变无限集合的基数”相矛盾,这充分说明了康托的理论连最起码的自洽也做不到!
说谎者还知道要圆谎呢!
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GMT+8, 2024-10-19 22:57
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