数学理论是借助于形式逻辑推理规则，由一系列概念、判断和推理组成的逻辑系统，形式逻辑的无矛盾性（逻辑完备性）是其重要特征。也就是说，数学理论中的基本假设和逻辑结论不能相互矛盾，在逻辑上是完备自洽的，否则我们就说这个数学理论包含了逻辑悖论，在逻辑上不能自洽，数学史上发生的三次重大数学危机均是由于在数学理论中发现逻辑悖论而导致的。

随机过程（Stochastic Process）是定义在Ω×T上的二元函数X(ω,t) 。固定样本点ω，X(ω,t)是时间t的函数，称为样本函数（sample function），记为x(t)；固定时间t，X(ω,t)是样本点ω的函数，称为随机变量（random variable），记为X(t)。图1为随机过程X(ω,t)定义示意图，显然，随机过程是一族样本函数（时间函数）的集合。

图1 随机过程定义示意图

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，从物理学的角度看，随机过程X(ω,t)是描述大量粒子随机运动过程的数学概念。

一个样本函数x(t)描述了一个粒子的位移随时间变化过程，因此，样本函数x(t)也被称为随机过程X(ω,t)的一个“物理实现”，而随机变量X(t)则描述了所有粒子在t时刻的空间位置分布状态（图1）。

根据上述《随机过程》教科书的随机过程定义，一个布朗粒子在t时刻的位移x(t)是固定ω时的随机过程X(ω,t)，亦即样本函数x(t)，因此，一个布朗粒子在t时刻的位移x(t)就是随机过程定义中的样本函数x(t)！

但是，《随机过程》的布朗运动定义却将一个布朗粒子在t时刻的位移x(t)定义为服从正态分布的随机变量X(t)，亦即固定t时的随机过程X(ω,t)，与随机过程定义相互矛盾，产生了逻辑悖论（图2）。

图2 布朗运动定义与随机过程定义相互矛盾

从形式逻辑的角度看，《随机过程》用两个内涵与外延完全不同的数学概念（样本函数和随机变量）描述同一对象（一个布朗粒子在t时刻的位移），产生了违反同一律的“混淆概念”逻辑错误。

从建立数学理论的公理化方法看，《随机过程》的随机过程定义和布朗运动定义相互矛盾，不满足公理系统无矛盾性（相容性）的最基本逻辑要求。

数学史上最著名的“混淆概念”逻辑错误出现在牛顿创立的《微积分》理论中。牛顿首先假设增量∆x≠0，然后在推理和证明过程中又随意令∆x=0，产生了著名的“贝克莱悖论”，引发了一场持续150多年的“第二次数学危机”，《微积分》理论险被推翻。

英国大主教贝克莱（Berkeley）严厉批评牛顿是有意识地“混淆概念”，《微积分》理论是“分明的诡辩”，并指出“逻辑错误不会产生科学”。

整个18世纪，数学家们的首要任务就是消除《微积分》中违反同一律的“混淆概念”逻辑错误，几乎每一位数学家都为此做出了巨大的努力。

后来柯西（Cauchy）将极限概念作为《微积分》的理论基础，才彻底消除了《微积分》中的“混淆概念”逻辑错误和“贝克莱悖论”，解除了数学史上的第二次危机。

《微积分》和《随机过程》都是研究质点运动现象及规律的数学理论，《微积分》描述并揭示确定性运动现象及规律，而《随机过程》则描述并揭示随机性运动现象及规律。

历史总是惊人的相似，还是那熟悉的姿势，《随机过程》如今也步《微积分》的后尘，出现了违反同一律的“混淆概念”逻辑错误，必将引发一场重大数学危机。

《随机过程》违反同一律的“混淆概念”逻辑错误，不仅破坏了《随机过程》理论的逻辑完备性，而且也破坏了《随机过程》理论的客观真理性。例如，从布朗运动定义推导出的“布朗运动瞬时速度无穷大（路径处处不可导）”结论，与物理学、工程技术和社会科学领域大量的“布朗运动瞬时速度为白噪声”的观测实验结果完全不符。

《随机过程》理论无法正确描述质点随机运动现象及规律，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具，因此，《随机过程》理论将面临重大范式转换，为中国的数学学科进入世界一流水平前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。

参考：

[1]驱动《随机过程》范式转换的四个反常现象

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1438435.html