1905年，爱因斯坦首先对布朗运动进行了定量研究。爱因斯坦认为布朗粒子的不规则运动是由于受到大量液体分子的连续随机碰撞造成的，并提出了如下的布朗运动基本假设：

基本假设：同一布朗粒子在不同微小时间间隔中的运动相互独立。

先说结论，爱因斯坦布朗运动基本假设可用数学语言表述为：

式中x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，v(t)为布朗粒子瞬时速度，n(t)为白噪声。

因此，爱因斯坦布朗运动基本假设也可用文字表述为：布朗运动的瞬时速度（导数）为白噪声。

一、推导过程：

设x(t)为布朗粒子在t时刻的位移，时间间隔为∆t，则布朗粒子在t=∆t，2∆t，…，i∆t，…时刻的位移增量可表示为：

∆x₁，∆x₂，…，∆x_i，…

因此，爱因斯坦布朗运动基本假设首先可表述为：同一布朗粒子在不同时刻的位移增量∆x_i相互独立。

由于∆t很小，布朗粒子在t=i∆t时刻的瞬时速度可表示为：

因此，爱因斯坦布朗运动基本假设又可表述为：布朗运动在不同时刻的瞬时速度v(t)相互独立，也就是说，v(t)在任何两个不同时刻的取值互不相关。

因此，v(t)的自相关函数可表示为：

R_v(τ)=N₀ δ(τ)     

式中τ为时间间隔，N₀为正实常数，δ(τ)为单位冲击函数。

上式表明，布朗运动瞬时速度v(t)在任何两个不同时刻的取值互不相关，v(t)的时域信号波形为一串宽度无限窄、方向和大小变化极快的随机脉冲。

根据维纳-辛钦定理，v(t)的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换，可得v(t)的功率谱密度

 P_v(ω)=N₀                                                                

显然，v(t)的功率谱密度在整个频率轴上均匀分布，v(t)为平均功率为N₀的白噪声，N₀的物理意义代表白噪声信号在单位电阻上产生的平均功率。

因此，爱因斯坦布朗运动基本假设又可表述为：布朗运动的瞬时速度（导数）为白噪声，即

式中n(t)为平均功率为N₀的白噪声。

二、实验验证：

布朗运动是一种广泛存在于自然界和人类社会实践活动中的随机运动，自然科学、工程技术和社会科学等领域的观察实验结果均表明：布朗粒子运动、股票价格波动、陀螺随机游走和表面微观形貌等不同形式的布朗运动瞬时速度均为白噪声（图1）。

图1 不同形式布朗运动的瞬时速度

参考：

布朗运动瞬时速度观测结果

布朗运动定律