归谬法是一种揭露、反驳或推翻谬误和错误判断的逻辑方法。归谬法首先假设被反驳的判断为真，然后通过正确的逻辑推理，推出一个与已知为真的科学事实或科学理论相悖的结论，从而否定假设，证明被反驳的判断为假，不能成立。

一、随机游走问题

皮尔逊（Pearson）是英国著名的数学家，概率统计中的标准差、相关系数和偏差等术语就是由皮尔逊首先提出的，因此皮尔逊也被誉为现代统计科学的创立者。

1905年，皮尔逊在《自然》杂志上公开求解随机游走问题（Random Walk Problem）：如果一个醉汉走路时每步的方向和大小完全随机，经过一段时间之后，在什么地方找到他的可能性最大？

图1 醉汉随机游走

二、随机游走物理模型

假设质点在水平直线上每隔时间∆t随机移动单位距离（图2），每次移动前用抛硬币结果ΔX来决定质点移动的方向。

若抛硬币结果为正面向上，ΔX=1，质点向右移动一步；若抛硬币结果为反面向上，ΔX=-1，质点向左移动一步。

图2 一维随机游走物理模型

自然科学、工程技术和社会科学中的许多重要随机现象（图3）均可用图2所示的随机游走物理模型进行描述，如布朗粒子随机运动、光纤陀螺随机游走和股票价格随机波动等。

图3 随机运动

三、随机游走数学定义

定义：设ΔX₁，ΔX₂，……，ΔX_n独立同分布（i.i.d.），P（ΔX_i =1）= P（ΔX_i =-1）=1/2，S₀=0，则称

S_n=ΔX₁+ΔX₂+……+ΔX_n

为从原点出发的简单对称随机游走。

显然，S_n的物理意义为图2所示质点移动n步后距原点的距离。

四、波利亚随机游走定理

美籍匈牙利数学家波利亚（Polya）是20世纪最杰出的数学家之一，为表彰波利亚对数学做出的突出贡献，1963年美国数学会（MAA）授予他数学杰出贡献奖（Award for Distinguished Service to Mathematics)。为纪念波利亚，美国工业与应用数学会在1969年专门设立了波利亚奖（Polya Prize）；美国数学会在1976年设立了波利亚奖（Polya Award）；伦敦数学会在1987年设立了波利亚奖（Polya Prize）。他曾长期工作的斯坦福大学以他的名字命名了一座波利亚楼（Polya Hall），并在数学图书馆里悬挂了他的肖像，这是馆内唯一悬挂的科学家肖像。波利亚的《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与猜想》等著作被译成多种文字，在全世界广为流传。

波利亚最为引人注目的数学成就是他在1921年发表的一篇关于随机游走论文。波利亚从随机游走定义出发，证明了著名的随机游走定理：一维和二维随机游走是常返的。

美国数学会（MAA）前主席、圣塔克拉拉大学（Santa Clara University）数学和计算机科学系主任亚历山大森（Alexanderson）主编的波利亚生平传记书名就为《波利亚的随机游走（The Random Walks of George Polya）》。

图4 《波利亚的随机游走》

“一维随机游走是常返的”是指图2所示的质点从原点出发，当步数n充分大时，质点返回原点无穷多次的概率等于1，也就是说，从原点出发的醉汉最终会返回原点。

波利亚随机游走定理从理论上解决了皮尔逊1905年在《自然》杂志上提出的随机游走问题，日本著名数学家角谷静夫将波利亚随机游走定理形象地表述为：喝醉的酒鬼总能找到回家的路（A drunk man will eventually find his way home），因此，波利亚随机游走定理也被称为酒鬼回家定理。

五、波利亚随机游走定理证伪

由随机游走定义，直接可得图2所示质点在第n步时的方差 

D(S_n)=n

表明n≥1时，D(S_n)≠0。

但是，根据波利亚随机游走定理，当n充分大时，质点会多次返回原点，也就是说，会多次出现质点位移Sn=0的情况，因此，质点返回原点（S_n=0）时的方差为

D(S_n)=D(0)=0

显然与随机游走定义n≥1时，D(S_n)≠0矛盾，从而证明波利亚随机游走定理为假，不能成立。

六、波利亚随机游走定理与高尔顿板试验结果不符

高尔顿板（图5）是英国生物统计学家高尔顿（Galton）专门设计用来演示一维随机游走现象及规律的实验装置。

图5 高尔顿板随机游走试验结果

高尔顿板上的每一个圆点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子正中间。

从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球，当小球向下降落过程中，碰到钉子后随机地向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止。

小球在第n层时距高尔顿板中线的距离，就是该小球在第n步时的位移S_n。

如果高尔顿板面积足够大，小球在下落过程中将不断向左右两个方向移动，表明一维简单随机游走的小球（醉汉）随时间远离原点，波利亚随机游走定理与高尔顿板试验结果不符。

参考：

一图看懂波利亚随机游走定理证伪方法及过程

随机游走定义的概念错误及纠正（后印本），数学学习与研究. 2021,(28)