《微积分》是研究现实世界确定性运动现象及规律的数学工具，《随机过程》是研究现实世界随机性运动现象及规律的数学工具。

《微积分》理论在发展初期，由于隐含有贝克莱悖论（违反同一律的逻辑错误），从而引发了一场持续150多年的“第二次数学危机”。

现有《随机过程》教科书中也隐含有违反同一律的逻辑错误，同时出现了一系列理论与经验事实不符和逻辑上不能自洽等反常问题，因此，《随机过程》即将面临一场库恩（Kuhn）在《科学革命的结构》书中所描写的重大范式危机和重大范式变革。

一、悖论及悖论对科学理论取得重大突破的推动作用

“悖论”是指自相矛盾的命题，或荒谬的理论。

从认识论的角度看，人类受客观条件和认识水平的限制，对物质世界的认识总是存在着历史局限性，导致人类建立的科学理论与物质世界的本质和运动规律之间不可避免的存在着一定的偏差，因此，科学理论先天就具有产生认识矛盾（悖论）的可能性和必然性，悖论是科学发展过程中的一个重要的存在形态。

科学理论是由一系列概念、判断和推理组成的逻辑系统，必然要求内部逻辑的完备性，科学理论内部必须要在逻辑上自洽，不应出现自相矛盾的悖论。

因此，逻辑完备性就成为检验科学理论真伪的重要评价标准之一。爱因斯坦曾经说过：“相对论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性。从它推出的许多结论中，只要有一个被证明是错误的，它就必须被抛弃；要对它进行修改而不摧毁其整个结构，那似乎是不可能的。”

一旦在某个科学理论中发现了悖论，表明该理论的逻辑完备性已遭到破坏。在信以为真的科学理论中出现悖论，其真理性就会受到人们的普遍怀疑，引起人们极大的思想混乱和精神恐慌，动摇人们的世界观，给正常的科研和教学活动带来严重的冲击，从而引发科学危机。

悖论以一种反常问题的方式向人们提示：在原有科学理论的深层中隐藏着重大科学问题，迫使人们不得不从原有科学理论的逻辑基础中去寻找内在矛盾和认知局限。为了彻底消除悖论，人们只能改变或放弃原有科学理论的研究方法、基本概念或基本原理，对现有研究范式进行根本性的变革，从而会催生出新的重大科学发现，提出并创立新的科学理论，导致科学知识体系和思维方式发生革命性的演变，从而把人类对客观世界的认识提高到一个崭新的水平。

数学史中曾发现过很多的悖论，其中最著名的有三个：“毕达哥拉斯悖论”、“贝克莱悖论”和“罗素悖论”，这三个悖论分别引起了数学史上的三次数学危机，也分别导致了数学史上的三次重大数学突破。第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机则导致了数理逻辑与一批现代数学的产生，因此，悖论在数学学科的突破性发展过程中发挥了巨大的推动作用。

二、贝克莱悖论

17世纪中叶，第一次工业革命刚刚兴起，面对生产实践和自然现象中的各种运动与变化，传统数学方法已无能为力，人们迫切需要一种新的数学工具，来研究各种运动现象及变化规律，从而引发了微积分的诞生。

微积分的出现成为整个数学史，乃至科学史上一个具有划时代意义的重大事件。20世纪最杰出的数学家冯·诺依曼在评价《微积分》时写道：“《微积分》是现代数学取得的最高成就，对它的重要性怎样估计也是不会过分的。”

数学的最主要特征就是精确性,即推理的严密性和结论的确定性。牛顿创建的微积分理论虽然在各个领域获得了广泛且成功的应用，但是其理论基础中却含有违反同一律的逻辑缺陷，在推导过程中存在着明显的逻辑矛盾，使人们对微积分理论的逻辑严密性和结论可靠性产生了严重质疑。

1734年，贝克莱（Berkeley）发现牛顿的微积分理论中存在违反同一律的逻辑错误。牛顿的微积分理论主要建立在无穷小概念之上，牛顿在计算质点运动的瞬时速度过程中，一会儿说是零，一会儿又说不是零。贝克莱强烈指责微积分的推导是“分明的诡辩”，微积分理论“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。

从形式逻辑来看，微积分理论中的无穷小量矛盾是一个典型的违反同一律的逻辑错误，表明微积分理论的基础中隐藏有严重的逻辑缺陷。

由于贝克莱发现的逻辑缺陷（贝克莱悖论）使微积分理论的合理性遭到严重质疑，而牛顿和莱布尼茨又无法消除微积分理论中的逻辑缺陷，导致当时的数学界产生了极大的思想混乱和精神恐慌，动摇了人们的传统观念，微积分理论险被推翻，使数学家们陷入到极度不安的深渊之中，引发了持续150多年的第二次数学危机。

整个18世纪，数学家的首要任务就是为微积分找出合乎逻辑的理论基础，几乎每一位数学家都为此做出了巨大的努力。

后来柯西（Cauchy）等数学家将极限概念作为微积分理论的基础，才消除了微积分理论违反同一律的逻辑错误，彻底解除了数学史上的第二次危机。

三、确定过程与随机过程

自然界的事物变化过程可以分成两大类：确定过程和随机过程。

确定过程具有确定性的变化规律，每次试验观察到的变化过程完全相同，所有试验结果可用同一个时间函数描述。研究确定过程运动现象及变化规律的数学工具是《微积分》。

随机过程没有确定性的变化规律，每次试验观察到的变化过程均不相同，次试验结果要用个不同的时间函数进行描述（图1）。研究随机过程运动现象及变化规律的数学工具是《随机过程》。

图1 随机过程试验结果与随机过程定义

《随机过程》教科书将随机过程试验的所有结果映射到样本空间，然后用二元函数来定义随机过程（图1）。

固定，是时间的函数，称为样本函数或样本轨道，简记为。一个样本函数对应着随机试验中的一次“测量结果”，因此样本函数也被称为随机过程的一个“物理实现”。

固定，是样本点的函数，称为随机变量，简记为。所有样本函数在时刻的取值{}就是随机变量在时刻的状态。

因此，随机过程既可看成是一族样本函数的集合，也可看成是一族随机变量的集合。

四、随机过程的物理意义

以物理学布朗运动为例，说明随机过程的物理意义。

从物理学角度看，所有布朗粒子的运动过程就构成了随机过程，对应不同的布朗粒子。第个布朗粒子在时刻的位移就是随机过程在时的一个“实现”，或随机过程在时的一个样本函数或一条样本轨道。

所有布朗粒子在时刻的位置{}就是随机过程固定时的随机变量的状态。

图2（a）为大量布朗粒子的位移曲线，图2（b）为大量布朗粒子在扩散过程中不同时刻的浓度分布曲线。

图2 布朗粒子位移曲线及浓度分布曲线

根据爱因斯坦布朗运动扩散方程，大量布朗粒子在时刻的浓度服从正态分布，也就是说，所有布朗粒子在时刻的空间位置服从正态分布，亦即随机变量。

五、《随机过程》悖论

以布朗运动定义（基本假设）为例，说明《随机过程》违反同一律的逻辑错误。

设为一个布朗粒子在时刻的位移，，若

（1）为平稳独立增量过程；

（2），其中  为常数；

（3）是的连续函数。

则称是参数为的布朗运动，或维纳过程。

图3为布朗运动定义逻辑错误分析。布朗运动定义中的被定义项为时间函数，但是布朗运动定义中的定义项却用随机变量和时间函数这两个完全不同的数学概念来描述同一个布朗粒子在同一时刻的位移，从而出现了违反同一律的逻辑错误。因此，《随机过程》教科书中包含有“是时间函数和是随机变量”的逻辑矛盾，出现了“混淆概念”的逻辑错误或悖论。

图3 布朗运动定义逻辑错误分析

从物理学角度看，《随机过程》教科书违反同一律，混淆了浓度和位移这两个物理概念的区别，把浓度和位移这两个完全不同的物理概念当作同一个概念使用，将布朗运动浓度与时间之间的数量关系抽象为布朗粒子位移与时间之间的数量关系，导致布朗运动定义中的基本数量关系与客观事实不符，从而使《随机过程》布朗运动理论的的客观真理性和逻辑完备性在逻辑出发点就遭到破坏，出现了一系列理论与经验事实不符和逻辑上不能自洽等反常问题，无法正确描述布朗运动现象、特征及规律，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。因此，《随机过程》即将面临一场重大范式危机和重大范式变革，为中国的数学学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。