布朗运动是一种具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程，其理论不仅在《随机过程》中占有相当重要的地位，而且也是刻画布朗粒子不规则运动、光纤陀螺随机游走误差和股票价格随机波动的重要数学工具，在自然科学、工程技术和社会科学领域有着广泛应用，图1为新旧两种范式的布朗运动理论建立过程示意图。

图1 新旧范式布朗运动理论的建立过程

一、物理学布朗运动理论及实验

1827 年，英国植物学家布朗（Brown）用显微镜观察悬浮在液体中的花粉微粒时，发现花粉微粒总是在做无规则运动。后来人们发现，这是一种广泛存在于自然界、工程技术和社会经济等领域中的随机现象，如空气污染扩散、陀螺随机游走和股票价格波动等，因此这类随机运动现象被称为“布朗运动”。

1905年，爱因斯坦发表了《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮粒子的运动》论文，认为悬浮微粒的不规则运动是由于受到大量液体分子的连续随机碰撞造成的，并假设“同一布朗粒子在不同时间间隔中的运动相互独立”和“不同布朗粒子之间的运动互不相关”，然后推导出了布朗运动扩散微分方程，求出了布朗粒子浓度分布方程  的解析表达式。

布朗粒子浓度  是距离  与时间  的函数，爱因斯坦根据  的解析表达式，得出了布朗粒子的浓度  在  时刻服从  正态分布的结论，即

式中  ，  为扩散系数。

爱因斯坦关于布朗运动的文章人们知道得很少，但它实际上是爱因斯坦论文中被引用次数最多的一篇论文，大大超过了狭义相对论文章。

1908年，法国物理学家佩兰在爱因斯坦布朗运动理论的启示下，开始进行布朗运动实验研究。佩兰在实验中用显微镜观测了200多颗藤黄粒子在不同时刻的位移数据，并计算出这200多颗藤黄粒子在不同时刻的均值和方差。实验结果表明：这200多颗藤黄粒子在不同时刻的空间位置服从均值为零、方差与时间成正比的正态分布，与爱因斯坦布朗运动理论描述的统计规律完全一致。

佩兰的布朗运动实验结果不仅证实了爱因斯坦布朗运动理论的正态分布结论，而且在不同实验条件下测得了高度一致的阿伏伽德罗常数，第一次从实验上直接证明了原子的存在，佩兰因此于1926年获得了诺贝尔物理学奖。

2010年，美国得克萨斯大学的李统藏地利用激光光镊技术首次实验测量到了布朗粒子的瞬时速度，实验结果表明，布朗粒子的瞬时速度是均值为零的不相关白噪声。

李统藏的研究论文“Measurement of the Instantaneous Velocity of a Brownian Particle”在《科学（Science）》杂志上发表后，在全球引起了极大轰动。

《科学》杂志专门为李统藏的论文配发了录音采访，《自然》杂志也迅速报道了该实验。李统藏的布朗粒子瞬时速度测量实验被《科学》杂志推荐为大学及高中教学内容，美国明尼苏达大学等学校的相关课程已经将该实验作为教学内容。

事实上，根据爱因斯坦“同一个布朗粒子在不同微小时间间隔中的运动相互独立”假设，直接可以推导出布朗粒子瞬时速度为零均值不相关白噪声的结论。

二、旧范式布朗运动理论

1913年，18岁的维纳（Wiener）在完成哈佛大学的博士论文答辩后，向学校申请了旅行奖学金，并选择在英国剑桥大学留学，师从英国哲学家罗素。

罗素对物理学中的重要发现有着敏锐的嗅觉，建议维纳去阅读爱因斯坦1905 年发表的三篇研究论文，并教导维纳要牢牢记住：数学很重要，但必须要有坚实的物理概念进行支撑。

维纳在阅读完爱因斯坦关于布朗运动的研究论文后发现，爱因斯坦描述的是大量布朗粒子随机运动的统计规律，而没有涉及单个布朗微粒运动轨迹的数学性质。

维纳对“一个布朗粒子所走曲线的数学性质”非常感兴趣，假设一个布朗粒子在  时刻的位移  服从大量布朗粒子浓度  在  时刻的正态分布规律，并定义

1923年，维纳发表了布朗运动研究论文，给出了布朗运动的数学定义，得出了“布朗粒子位移  服从  正态分布”、“布朗粒子位移  与  成正比"和“布朗运动路径处处不可导（瞬时速度无穷大）”等一系列与经验事实不符的错误结论。

维纳对单个布朗粒子运动性质的研究方法和结论，为《随机过程》布朗运动理论的建立奠定了概念、方法和理论基础，因此布朗运动在《随机过程》教科书中也被称为“维纳过程”。

三、新范式布朗运动理论

根据爱因斯坦“同一布朗粒子在不同时间间隔中的运动相互独立”假设，立即可推导出布朗粒子瞬时速度等于零均值不相关白噪声的结论。

设  为布朗粒子在  时刻的位移，则布朗粒子的瞬时速度可表示为：

式中  为定义在  的零均值不相关白噪声函数。

设  ，由上式可直接写出布朗粒子的运动学方程

从布朗粒子运动学方程出发，可建立全新范式的布朗运动理论。

四、新旧范式布朗运动理论对比

新范式：将布朗粒子在  时刻的位移  抽象为时间函数，根据布朗粒子瞬时速度为零均值不相关白噪声的物理学基本原理建立《随机过程》布朗运动理论。

旧范式：将布朗粒子在  时刻的位移  抽象为随机变量，根据布朗粒子浓度服从正态分布的物理学基本原理建立《随机过程》布朗运动理论。

表1 新旧范式布朗运动理论对比

五、结论

维纳的旧范式布朗运动理论混淆了物理学浓度和位移基本概念，将布朗运动理论完全建立在错误的正态分布假设基础上，导致《随机过程》教科书出现了一系列理论与经验事实不符和逻辑上不能自洽等反常问题。因此，《随机过程》教科书将面临库恩在《科学革命的结构》书中所描写的重大范式变革，《随机过程》教科书中原有的错误方法和错误内容将会被新方法和新理论所取代，为中国的随机过程学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。

参考：

基于时间函数范式的布朗运动理论