一、维纳过程定义

设x(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移，x(0)=0，定义

（1）x(t)为平稳独立增量过程；

（2）对于任意的t>s≥0，x(t)- x(s)～N(0，σ² (t-s))，其中σ>0为常数；

（3）x(t)是t的连续函数。

则称x(t)是参数为σ²的布朗运动，或维纳过程。

 二、维纳过程定义研究方法错误

在维纳过程定义中，被定义项x(t)是一个布朗粒子在t时刻的位移，亦即x(t)是时间函数，定义项（3）进一步明确指出：x(t)是连续时间函数（表1）。

表1 维纳过程定义中的逻辑错误

维纳过程定义中，定义项（1）和定义项（2）却将x(t)当作随机变量，用随机变量的数字特征来描述时间函数x(t)，违反了数学逻辑推理基本规则中的矛盾律。

矛盾律的基本内容是：在同一数学思维过程中，两个不同的数学概念不能反映同一对象。如果用两个不同的数学概念描述同一对象，就会出现违反矛盾律的逻辑错误，必然会导致逻辑矛盾或逻辑悖论的产生。

《随机过程》学科用随机变量描述一个布朗粒子位移（时间函数）的研究方法，违反了矛盾律，必然会导致布朗运动理论与经验事实不符和逻辑上不能自洽。

  三、维纳过程逻辑悖论

  设x(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移（图1），显然x(t)是时间t的函数。

图1 布朗粒子位移曲线

由维纳过程定义，x(t) ～N(0，σ² t)，因此可得x(T_a) 的数学期望和方差为

E[x(T_a)]=0

D[x(T_a)]= σ²T_a

  设T_a为布朗粒子首次到达图1中a位置的首中时，则首中位置x(T_a)= a为常数，可直接计算出x(T_a)的数学期望和方差

E[x(T_a)]= a

D[x(T_a)]=0

显然，与维纳过程定义x(t) ～N(0，σ² t)的结论自相矛盾，在逻辑上不能自洽。