一、维纳过程定义

设x(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移（图1），x(0)=0，定义

（1）x(t)为平稳独立增量过程；

（2）对于任意的t>s≥0，x(t)- x(s)～N(0，σ² (t-s))，其中σ>0为常数；

（3）x(t)是t的连续函数。

则称x(t)是参数为σ²的布朗运动，或维纳过程。

图1 布朗粒子位移曲线

由维纳过程定义可知，布朗粒子位移x(t)服从(0，σ²t)正态分布。

二、正态分布性质：

自从1809年德国数学家高斯（Gauss）发现测量误差服从正态分布（图2）后，人们发现正态分布在自然界和人类社会实践活动中极为常见。

图2 正态分布

正态分布具有如下两个重要的特征：

（1）对称性。绝对值相等的正、负样本数据出现的次数大致相等。

（2）集中性。绝对值小的样本数据比绝对值大的样本数据出现的次数多。

三、布朗粒子位移仿真曲线：

服从正态分布的布朗粒子位移x(t)也应具有正态分布的对称性和集中性：

（1）对称性。绝对值相等的正、负位移出现的次数大致相等。

（2）集中性。绝对值小的位移比绝对值大的位移出现的次数多。

因此，根据x(t)是t的连续函数和x(t)服从(0,σ²t)正态分布的维纳过程定义，可仿真出图3所示的布朗粒子位移曲线。

图3 布朗粒子位移仿真曲线

  显然，根据维纳过程定义仿真出的布朗粒子位移曲线，与图1所示的实际布朗粒子位移曲线完全不同。实际布朗粒子的位移曲线（图1）既不符合正态分布的对称性，也不满足正态分布的集中性。