爱因斯坦1905年对布朗运动进行定量研究时，随机过程理论尚未创建，严格的随机过程定义是由杜布于1953年在其名著《随机过程》中给出的。

随机过程定义涉及随机过程、随机变量和样本轨道三个术语，本文先给出爱因斯坦布朗运动理论与随机过程、随机变量和样本轨道三者之间的对应关系，然后介绍了近年来关于布朗粒子瞬时速度的理论和实验研究成果，最后以樊平毅教授为清华大学电子工程系本科生及研究生编著的《随机过程理论与应用》教材第5章Brown运动为例，分析了现有随机过程教材中的基本概念错误和研究方法错误。

一、爱因斯坦布朗运动理论与随机过程之间的对应关系

1827 年，英国植物学家布朗（Brown）用显微镜观察悬浮在液体中的花粉微粒时，发现微粒总是在做无规则运动。后来人们发现，这是一种广泛存在于自然、工程和社会等领域中的随机现象，如空气污染扩散、陀螺随机游走和股票价格波动等，因此这类随机运动现象被称为“布朗运动”。

爱因斯坦认为布朗运动是由大量液体分子的连续随机碰撞造成的。由于液体的宏观可观测物理量与大量布朗粒子的统计规律有关，因此爱因斯坦的研究对象并不是一个布朗粒子，而是n个布朗粒子及其在一段时间后的空间位置分布规律（图1）。

图1 一维布朗运动

爱因斯坦首先做了两个假设：

（1）不同布朗粒子之间的运动互相独立；

（2）同一个布朗粒子在不同时间间隔中的运动相互独立。

爱因斯坦假设  个布朗粒子在  时，同时从原点出发，并向  轴的正反两个方向扩散，根据扩散方程推导出了  个布朗粒子在  时刻位置  的概率分布函数

式中  为扩散系数。

显然，所有布朗粒子在  时刻的位置{ }服从数学期望为零、方差为  的正态分布，图2给出了  秒、  秒、  秒和  秒时的正态分布曲线。

图2 布朗运动正态分布曲线

图3为  个布朗粒子的位移曲线。可以看出，  个布朗粒子在任一时刻的位置均服从  正态分布。由于正态分布的方差与时间成正比，因此，  个布朗粒子随时间不断向远离原点的方向扩散。

图3 布朗粒子位移曲线（1000个）

根据随机过程定义，  个布朗粒子在  时刻的位置{ }就是随机过程定义中的随机变量  在  时刻的状态或取值，单个布朗粒子在  时刻的位移  (  )就是随机过程定义中的一条样本轨道。

在数学领域，一般将随机过程看成是随机变量  的集合；在工程领域，一般将随机过程看成是样本轨道  的集合。

在实际应用中，随机变量X(t)和样本轨道x(t) 分别用来描述不同的物理研究对象。随机变量  用来描述布朗粒子的集体行为，样本轨道  则用来描述布朗粒子的个体行为。

图4给出了物理学布朗运动与随机过程之间的对应关系。

图4 布朗运动与随机过程的对应关系

二、布朗粒子瞬时速度

根据爱因斯坦“同一个布朗粒子在不同时间间隔中的运动相互独立”假设，可知单个布朗粒子的瞬时速度  在不同时刻互不相关，因此单个布朗粒子瞬时速度  的自相关函数可表示为

式中  为时间间隔，  为正实常数，  为单位冲击函数。

根据维纳-辛钦定理，平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换，可得单个布朗粒子瞬时速度  的功率谱密度

即  的功率谱密度在整个频率轴上均匀分布，表明  是平均功率为  的白噪声。

2010年，美国得克萨斯大学的李统藏成功地用激光光镊技术首次实验测量到了悬浮布朗粒子的瞬时速度（图5），实验结果证明了布朗粒子的瞬时速度波形为白噪声，表明布朗运动的导数（瞬时速度）不仅存在，而且可观测。

图5 布朗粒子瞬时速度测量结果

李统藏的研究论文“Measurement of the Instantaneous Velocity of a Brownian Particle”在《科学（Science）》杂志上发表后，在全球引起了极大的轰动。《科学》杂志专门为李统藏的论文配发了录音采访，《自然》杂志也迅速报道了该实验。

李统藏的布朗粒子瞬时速度测量实验被《科学》杂志推荐为大学及高中教学内容，美国明尼苏达大学等学校的相关课程已经将该实验作为教学内容。

将“布朗粒子瞬时速度等于白噪声”作为布朗运动定律（公理），可建立单个布朗粒子位移数学模型，并演绎推导出单个布朗粒子在时域及频域的所有性质和运动规律，以及大量布朗粒子位置的空间统计规律。

三、质点随机运动研究方法错误

观察质点位移随时间变化的过程（图6），无论质点做确定性运动还是随机性运动，在每一个确定的时刻，都有唯一一个确定的质点位置与时间“一一对应”，因此，质点位移  与时间  之间的数量关系为函数关系，  是  的函数。假设质点从原点出发做布朗运动，质点位移  的函数图像见图6（b）。

图6 单个布朗粒子位移

从随机过程定义的角度看，单个质点的位移  只是随机过程  固定  时的一条样本轨道  ，  是时间  的一般函数，而非随机变量  。

随机变量  并不是时间  的函数，  表示所有质点在  时刻位置的取值{}，也就是随机变量  在  时刻的状态。

从前面的物理学布朗运动与随机过程之间的对应关系也可以看出，随机变量X(t)是描述布朗粒子集体行为的数学工具，而样本轨道x(t)则是描述布朗粒子个体行为的数学工具。

但是，《随机过程理论与应用》教材在描述布朗运动物理过程时，竟将单个质点的位移  与时间  之间的数量关系抽象为随机变量  ,因而只能用随机变量  的统计特性来描述单个质点的位移性质，从而得出了“布朗粒子位移服从正态分布”这一与事实明显不符的错误结论。

如果布朗粒子的位移  服从正态分布，则图6（b）所示的布朗粒子位移曲线应具有如下正态分布的两个特点：

（1）对称性。绝对值相等的正、负位移出现的次数大致相等。

（2）集中性。布朗粒子在0点附近出现的次数最多。

但是从图3和图6（b）所示的布朗粒子位移曲线可以看出，布朗粒子随时间远离原点，其位移曲线  既不符合正态分布的对称性，也不符合正态分布的集中性。

事实上，服从  正态分布的质点位移函数图像如图7所示，是均值为零、方差与时间成正比的高斯噪声，既满足正态分布的对称性和集中性，也满足方差与时间成正比的性质，但是与图6（b）所示的布朗粒子位移曲线（红噪声）有天壤之别。因此，《随机过程理论与应用》教材将随机运动的质点位移抽象为随机变量的研究方法是错误的。

图7 服从正态分布的质点位移曲线（高斯噪声）

爱因斯坦关于“布朗运动服从正态分布”的性质，是指大量布朗粒子在  时刻的位置{ }服从正态分布（图1和图3），而不是指一个布朗粒子的位移  服从正态分布。因此，《随机过程理论与应用》教材中的结论与爱因斯坦布朗理论明显不符。

《随机过程理论与应用》将单个质点位移抽象为随机变量的研究方法，无形中导致物理研究对象从一个质点改变为质点集合，因此只能用描述大量质点空间位置统计规律的数字特征（数学期望、方差）来刻画一个质点位移随时间的变化规律，不仅使教材本身出现了一系列与事实不符的错误内容，而且也为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。

四、混淆样本轨道与随机变量本质区别的基本概念错误

随机过程是定义在  上的二元单值函数  。对于固定的时间  ，  是状态  的函数，称为随机变量，简记为  ；对于固定的状态  ，  是时间  的函数，称为样本函数或样本轨道，简记为  。

一个样本轨道  对应着随机试验中的一次“测量结果”，即人们观察到的实际随机现象随时间演变的过程，如图6（b）所示的布朗粒子位移曲线，因此，  也被称为随机过程的一个“实现”。

样本轨道  是时间  的一般函数，所有样本轨道在  时刻的取值{ }才是随机变量  在  时刻的状态，因此，随机变量  和样本轨道  是两个具有不同定义域和值域的函数。

《随机过程理论与应用》教材对随机变量  和样本轨道  所表达的内涵和外延出现了根本性的误解，在应用时“张冠李戴”，完全混淆了随机变量  与样本轨道  之间的本质区别。

例如，《随机过程理论与应用》教材在证明布朗运动样本轨道  的可导性时，竟然直接用随机变量  表示样本轨道  ，并用随机变量  在  区间上的变化率极限来代替样本轨道  在  区间上的变化率极限，从而得出了“布朗运动轨道处处不可导”的错误结论。

五、结论

《随机过程理论与应用》教材混淆样本轨道与随机变量本质区别的基本概念错误，以及将随机运动的质点位移抽象为随机变量的研究方法错误，均会导致随机过程教材中的数学研究对象与物理研究对象发生错位，从而会得出一系列与事实不符的结论，并出现一系列反常问题及现象。因此，随机过程教科书知识体系将面临重大范式变革，这为中国的随机过程学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。新的质点随机运动研究方法和理论将推翻并替代原有的教科书内容，使人类认识随机现象的思维方式产生重大变革，并产生一系列新的重大发现，使自然科学、工程技术和社会科学对动态随机现象的认识发生质的飞跃，引发一场持久广泛的科学革命，对科学、社会和经济发展产生重大影响。