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精确科学计算的工具：浮点加减运算器的限位数设计
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____中秋给计算机的朋友送大礼
姜咏江
1. 前言
利用计算机浮点运算器能够进行精确计算吗？利用本文设计的浮点运算器就可以进行浮点方式精确计算。
IEEE754标准将32位数用一位表示正负号，这是一种浪费。限位数方法设计浮点运算器不用占用多余的位置表示正负，因而尾数会比IEEE754标准多出一位，同样位长表示的浮点数会比IEEE754有更大的数域。用限位数方法表示浮点数，阶码也不用使用移码。
2. 设计背景
计算机浮点运算器设计中IEEE754标准强行如下规定：
1. 如果指数是0 并且小数部分是0，这个数±0（和符号位相关）；
2. 如果指数 = 2e − 1 并且小数部分是0，这个数是 ±无穷大（同样和符号位相关）；
3. 如果指数 = 2e − 1 并且小数部分非0，这个数表示为不是一个数（NaN）。
这种规定不符合数值运算的规则，会造成极大偏差。
第一， 0无正负，0×20就是0，不应该强行规定什么所谓的±0；
第二， 即使指数 = 2e − 1（这里 e=8）尾数是0，此时的数值仍然是0，也不应该规定是±无穷大；
第三， 指数 = 2e − 1并且小数部分非0，恰是一个确定的数，强行规定“不是一个数（NaN）”更违背数学原则。
3. 设计方法
本限位数浮点加减法运算器仍然采用8位的阶码设计，由于限位数自身就表示了正负，因而阶码值的变化范围是-128～127，对阶时最大移位是255。由于“对称制”的两限位数之差等于其所代表的有符号数之差，固可以用值较大的数减去较小的数得到8位无符号移位数。为保证精确计算的需要，特设置了移出变量 space，用它来找回移位时丢失的有效部分。
尾数右移损失有效码与否由mov_f监控，即mov_f=1时移出的数码不全为0。
限位数概念之下，规定阶码8位，尾码24位时，那么32位的浮点数其表值范围为：
-0.16777216×2127 ～+0.16777216 ×2127
用二进制限位数的表示应是：
.100000000000000000000000×01001111111～.011111111111111111111111×01001111111
需要指出，限位数小数点的左方是不能够随便添加“0”的，原因是二进制限位数的最高位数码指示着该数的正负，并且小数点左面有数码就会增加限位数表数的位数。例如，0.866和.866是不同值的，前者是一个正数，而后者是一个负数。
因为对阶时尾数右移的位数可以通过减法运算得到，加减运算的阶码需要取较大的数，因而采用大数减小数的方式就可以直接得到右移的位数。例如，阶码运算是127-（-128），化成二进制数是
0111111-10000000 = 01111111 + |10000000| <=> 11111111
大数减小数的结果是无符号数这是可以证明的，所以右面的结果可以认定是255。
4. 设计的Verilog HDL语言描述
/*这是我65岁年初编写的程序：限位数浮点加减法设计。阶码的变化范围是-128~127，尾数右移损失有效码由mov_f监控。这里32位的浮点数表数范围是 -0.16777216 *2exp127 ～+0.16777216 *2exp127 */
module fudian(f_a,f_b,clk,rst,me,f_out,sub,omov,mov_f,space,osign);
input [31:0] f_a,f_b; //输入浮点数
input clk, //时钟
me, //选择使用
rst, //复位信号
sub; //减法控制
output [31:0] f_out; //结果浮点输出
output [23:0] omov; //参考：移动后的尾数
output mov_f; //参考：甩掉有效数字尾标志
output [255:0] space; //参考：甩掉的尾数，可以提供精确计算数据
output [8:0] osign; //参考：移位数
reg [31:0] f_out; //寄存器型输出
reg [8:0] osign;
reg [7:0] exp_out;
reg [7:0] exp_a,exp_b;
reg [8:0] sign; //保证不溢出用9位
reg [23:0] man_out;
reg [23:0] a_a,b_b,c_c;
reg [255:0] tru,zero,shift;
reg mov_flg;
assign space = shift;
assign mov_f = mov_flg;
assign omov = c_c;
always @(posedge clk or negedge rst)
begin
if (!rst)
begin
exp_a <= 8'h00;
exp_b <= 8'h00;
a_a <= 24'h000000;
b_b <= 24'h000000;
tru <= 256'hffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff;
zero <= 256'h0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000;
sign <= 9'b000000000;
end
else if (me)
begin
exp_a = f_a[31:24];
exp_b = f_b[31:24];
a_a = f_a[23:0];
b_b = f_b[23:0];
sign = exp_a - exp_b;
end
end
always @(posedge clk )
begin
if (!sign[8]) //exp_a > exp_b
begin
osign = sign;
exp_out <= f_a[31:24]; //取f_a原阶码
if (b_b[23]) //f_b的尾数为负数
{c_c,shift} <= {tru,b_b,zero} >> sign; //需要按负数扩充，然后右移
else {c_c,shift} <= {b_b,zero} >> sign;
end
else //差为负
begin
osign = -sign;
exp_out <= f_b[31:24]; //取f_b原阶码
if (a_a[23])
{c_c,shift} <= {tru,a_a,zero} >> -sign; //需要按正负数扩充
else
{c_c,shift} <= {a_a,zero} >> -sign;
end
end
always @(posedge clk )
begin
if (!sub) //加
if (!sign[8])
man_out <= a_a + c_c;
else man_out <= b_b + c_c;
else //减
if (!sign[8])
man_out <= a_a - c_c;
else man_out <= c_c - b_b;
end
always @(posedge clk )
begin
f_out <= {exp_out,man_out}; //输出
if (!shift)
mov_flg <=1'b0;
else mov_flg <=1'b1; //移位有损失，影响精度
end
endmodule
5. 仿真
下面是十六进制的浮点加减法运算器仿真。图1是阶码符号相反的运算，求的是十六进制的0.142176×268±0.54D101×2E5；图2是阶码符号相同的运算，求的是十六进制的0.142176×268±0.005219×273。
图中sub=1为做减法运算。
图 1 阶码符号相反的运算
图 2 阶码符号相同的运算仿真
于2010-9-22中秋，欢迎讨论。
https://blog.sciencenet.cn/blog-340399-365673.html
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