约旦阵下的连续系统能控丰富性

     能控空间定义

$R_{x}=\left\{ z\left|z=\int_{0}^{T}e^{-At}Bu_{t}\textrm{d}t,\left|u_{t}\right|\leq1\right.\right\}$

能控空间的边界为

$\partial R_{x}=\left\{ z\left|z=\int_{0}^{T}e^{-At}B\textrm{sgn(}c^{T}e^{-At}B)\textrm{d}t,\forall c\in R^{n}\right.\right\}$

     设系统矩阵可表示为（或可变换为）上约旦阵，即线性连续系统模型各矩阵可表示为

$A=\left[\begin{array}{ccccc} \lambda & & & & 0\\ 1 & \lambda\\ & 1 & \lambda\\ & & & \ddots\\ 0 & & & & \lambda \end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\\ \vdots\\ b_{n} \end{array}\right]$

$e^{-At}=e^{-\lambda t}\left[\begin{array}{ccccc} 1 & & & & 0\\ -t & 1\\ \frac{t^{2}}{2} & -t & 1\\ & & & \ddots\\ \frac{(-1)^{n-1}t^{n-1}}{(n-1)!} & \frac{(-1)^{n-2}t^{n-2}}{(n-2)!} & \frac{(-1)^{n-3}t^{n-3}}{(n-3)!} & & 1 \end{array}\right]$

     记

$\zeta_{n}(t)=e^{-At}B=e^{-\lambda t}\left[\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}-b_{1}t\\ b_{3}-b_{2}t+\frac{b_{1}}{2}t^{2}\\ \vdots\\ b_{n}-b_{n-1}t+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}t^{n-1}}{(n-1)!}b_{1} \end{array}\right]$

可以证明，存在下述变换矩阵

$P=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & & & & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ & & & \ddots\\ -\frac{b_{n}}{b_{1}} & -\frac{b_{n-1}}{b_{1}} & -\frac{b_{n-2}}{b_{1}} & & 1 \end{array}\right]\times\cdots\times\left[\begin{array}{ccccc} 1 & & & & 0\\ 0 & 1\\ -\frac{b_{3}}{b_{1}} & -\frac{b_{2}}{b_{1}} & 1\\ & & & \ddots\\ 0 & 0 & 0 & & 1 \end{array}\right]\times\left[\begin{array}{ccccc} 1 & & & & 0\\ -\frac{b_{2}}{b_{1}} & 1\\ 0 & 0 & 1\\ & & & \ddots\\ 0 & 0 & 0 & & 1 \end{array}\right]$

使得

$P\zeta_{n}(t)=\beta_{n}(t)=e^{-\lambda t}b_{1}\left[\begin{array}{c} 1\\ -t\\ \frac{t^{2}}{2}\\ \vdots\\ \frac{(-1)^{n-1}t^{n-1}}{(n-1)!} \end{array}\right]$

即 $\beta_{n}(t)$ 只与 $b_{1}$ 有关，且 $\det(P)=1$ .因此，有

        $\partial R_{x}=\left\{ z\left|z=\int_{0}^{T}e^{-At}B\textrm{sgn}\left(c^{T}\zeta_{n}(t)\right)\textrm{d}t,\forall c\in R^{n}\right.\right\}$

            $=\left\{ z\left|z=\int_{0}^{T}e^{-At}B\textrm{sgn}\left(\widetilde{c}^{T}\beta_{n}(t)\right)\textrm{d}t,\forall\widetilde{c}\in R^{n}\right.\right\}$    (1)

式(1)中的 $\textrm{sgn}\text{()}$ 函数的值发生变号的时间点为如下方程的解

$\widetilde{c}^{T}\beta_{n}(t)=e^{-\lambda t}b_{1}\left[\widetilde{c}_{1}-\widetilde{c}_{2}t+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}t^{n-1}}{(n-1)!}\widetilde{c}_{n}\right]=0\quad\quad0\leq t\leq T$

上述方程实际上为多项式方程，其实数解的个数为0到 $$ $n-1$ 个。上述方程的实数解 $\tau_{i}(i=\overline{1,n-1})$ 与系统输入矩阵B无关，并设其满足

$0=\tau_{0}\leq\tau_{1}\leq\tau_{2}\leq\cdots\leq\tau_{n-1}\leq\tau_{n}=T$

若上式中某个“ $\leq$ ”取“=”，则意味着上述方程的实数解个数少于 $n-1$ 。实数解个数也就意味着由能控域相应的边界点控制到坐标原点，控制变量 $u_{t}$ 的最小时间控制律在{-1，+1}间变号次数。

      因此，式(1)所描述的边界为

$\partial R_{x,T}=\left\{ \pm z\left|z=\left(\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i+1}\int_{\tau_{i-1}}^{\tau_{i}}\right)\zeta_{n}(t)\textrm{d}t,\forall\tau_{i}\in[0,T],i=\overline{0,n-1}\right.\right\}$

      $=\left\{ \pm z\left|z=P^{-1}\left[\xi_{n}(T)-\xi_{n}(0)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i+1}2\xi_{n}(\tau_{i})\right],\forall\tau_{i}\in[0,T],i=\overline{1,n-1}\right.\right\}$

其中

$\xi_{n}(t)=\int\beta_{n}(t)\textrm{d}t$

该边界所包围的体积（面积）为

$V(R_{x,T})=2\int z\otimes\textrm{d}z$

      $=2\int_{\Omega}P^{-1}\left(\xi_{n}(\tau)-\xi_{n}(0)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i+1}2\xi_{n}(\tau_{i})\right)\otimes\left(\prod_{i=1}^{n-1}(-1)^{i+1}2P^{-1}\xi_{n}^{\prime}(\tau_{i})\textrm{d}\tau_{i}\right)$

        $=(-1)^{n(n-1)/2}2^{n}\int_{0}^{T}\int_{0}^{\tau}\int_{0}^{\tau_{n-1}}\cdots\int_{0}^{\tau_{2}}\left|\det\left[\left(\xi_{n}(\tau)-\xi_{n}(0)+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i+1}2\xi_{n}(\tau_{i})\right),\xi_{n}^{\prime}(\tau_{1}),\cdots,\xi_{n}^{\prime}(\tau_{n-1})\right]\right|\textrm{d}\tau_{1}\cdots\textrm{d}\tau_{n-1}\textrm{d}\tau$

由于上式中 $\tau_{i}(i=\overline{1,n-1})$ 与系统输入矩阵 $B$ 无关， $\xi_{n}(t)$ 与 $\beta_{n}(t)$ 又仅与 $b_{1}$ 有关，故能控丰富性 $V(R_{x,T})$ 仅与上约旦矩阵对应的 $B$ 的第一行有关，与 $B$ 矩阵的其它行无关。这一结论与传统控制理论中的能控性仅与上约旦矩阵（或下约旦矩阵）对应的 $B$ 的第一行（或最后一行）有关，与 $B$ 矩阵的其它行无关这一结论是一致的。