两输入两阶系统的能达丰富性

     若两输入两阶系统的线性离散系统 $\varSigma(A,B)$ 的各矩阵可表示为（或可变换为）

          $A_{N}=[B,AB,...,A^{N-1}B]$  

          $A=\left[\begin{array}{cc} \lambda_{1} & 0\\ 0 & \lambda_{2} \end{array}\right]\qquad B=\left[B_{1}\;B_{2}\right]=\left[\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right]$

不失一般性，可通过对输入变量进行变换有

$b_{11},b_{22},\det\left(B\right)=b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}>0$

因此，当 $0<\lambda_{1}<\lambda_{2}$ ,在 $b_{11}b_{22}\lambda_{1}^{s}-b_{12}b_{21}\lambda_{2}^{s}$ 恒为正时，系统 $\varSigma(A,B)$ 的 $N$ 步能达丰富性为

$V_{2}(C_{2}(A_{N}))=V_{2}(C_{2}(A_{N}^{(1)}))+V_{2}(C_{2}(A_{N}^{(2)}))+\frac{\left(1-\lambda_{1}^{N}\right)\left(1-\lambda_{2}^{N}\right)}{\left(1-\lambda_{1}\right)\left(1-\lambda_{2}\right)}\det\left(B\right)$

其中 $V_{2}(C_{2}(A_{N}^{(i)}))$ 为单输入系统 $\varSigma(A,B_{i})$ 的 $N$ 步能达丰富性.

     此时，当 $0<\lambda_{1}<\lambda_{2}<1$ 时，系统 $\varSigma(A,B)$ 的无限时间能达丰富性为

$\lim_{N\rightarrow\infty}v_{r,N}=\frac{\left[\left|b_{11}b_{21}\right|+\left|b_{12}b_{22}\right|\right]\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)}{\left(1-\lambda_{1}\right)\left(1-\lambda_{2}\right)\left(1-\lambda_{1}\lambda_{2}\right)}+\frac{\det\left(B\right)}{\left(1-\lambda_{1}\right)\left(1-\lambda_{2}\right)}$

     当系统状态解耦，即

$B=\left[\begin{array}{cc} b_{11} & 0\\ 0 & b_{22} \end{array}\right]$

则有

              $v_{r,N}=b_{11}b_{22}\frac{\left(1-\lambda_{1}^{N}\right)\left(1-\lambda_{2}^{N}\right)}{\left(1-\lambda_{1}\right)\left(1-\lambda_{2}\right)}$

            $\lim_{N\rightarrow\infty}v_{r,N}=\frac{b_{11}b_{22}}{\left(1-\lambda_{1}\right)\left(1-\lambda_{2}\right)}$