状态解耦系统的能达丰富性

     当线性系统为状态完全解耦时，则系统的能达丰富性为各解耦子系统的能达丰富性的乘积，即有如下定理。

     【定理】 若线性离散系统为状态完全解耦，且其状态空间模型可表示为

$\dot{x}=Ax+Bu=\textrm{diag}\left\{ A_{1},A_{2},\cdots,A_{s}\right\} x+\textrm{diag}\left\{ B_{1},B_{2},\cdots,B_{s}\right\} u$

其中 $\varSigma(A_{i},B_{i})$ 为第 $i$ 个解耦子系统，其状态维数为 $n_{i}$ ，则系统 $\varSigma(A,B)$ 的 $N$ 步能达丰富性为

$v_{r,N}\textbfsymbol{=\textrm{Vol}\left(C_{n}\left(\left[B,AB,\cdots,A^{N-1}B\right]\right)\right)=\prod_{j=1}^{s}v_{r,N}^{(j)}}$

其中 $v_{r,N}^{(j)}$ 为第 $i$ 个解耦子系统的能达丰富性，且有

$v_{r,N}^{(j)}=\textrm{Vol}\left(C_{n_{j}}\left(\left[B_{j},A_{j}B_{j},\cdots,A_{j}^{N-1}B_{j}\right]\right)\right)$