||
两输入两阶系统的重根时的能达丰富性
(1) 若重根时的两输入两阶系统有两个独立特征向量,即线性离散系统 $\varSigma(A,B)$ 的各矩阵可表示为(或可变换为)
$A_{N}=[B,AB,...,A^{N-1}B]$
$A=\left[\begin{array}{cc} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{array}\right]\qquad B=\left[B_{1}\;B_{2}\right]=\left[\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right]$
不失一般性,可通过对输入变量进行变换,设
$b_{11},b_{22},\det\left(B\right)=b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}>0$
因此,系统 $\varSigma(A,B)$ 的 $N$ 步能达丰富性为
$V_{2}(C_{2}(A_{N}))=\left[\frac{1-\lambda^{N}}{1-\lambda}\right]^{2}\det\left(B\right)$
此时,当 $0<\lambda<1$ 时,系统 $\varSigma(A,B)$ 的无限时间能达丰富性为
$\lim_{N\rightarrow\infty}v_{r,N}=\frac{\left|\det\left(B\right)\right|}{\left(1-\lambda\right)^{2}}$
(2) 若重根时的两输入两阶系统仅一个独立特征向量,即线性离散系 $%u7EDF\varSigma(A,B)$ 的系统矩阵可表示为(或可变换为)
$A=\left[\begin{array}{cc}
\lambda & 0\\
1 & \lambda
\end{array}\right]$
系统 $\varSigma(A,B)$ 的 $N$ 步能达丰富性为
$V_{2}(C_{2}(A_{N}))=\left(\left|b_{11}\right|+\left|b_{12}\right|\right)^{2}\frac{1-N\lambda^{N-1}+N\lambda^{N+1}-\lambda^{2N}}{\left(1-\lambda\right)^{2}\left(1-\lambda^{2}\right)}$
此时,当 $0<\lambda<1$ 时,系统 $\varSigma(A,B)$ 的无限时间能达丰富性为
$\lim_{N\rightarrow\infty}v_{r,N}=\frac{\left(\left|b_{11}\right|+\left|b_{12}\right|\right)^{2}}{\left(1-\lambda\right)^{2}\left(1-\lambda^{2}\right)}$
Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )
GMT+8, 2024-11-27 02:44
Powered by ScienceNet.cn
Copyright © 2007- 中国科学报社