2阶有复根的线性离散系统的能达丰富性极值计算(整理中)

     本人的博文“2阶有复根的离散系统的能达丰富性计算”(http://blog.sciencenet.cn/blog-3343777-1073275.html) 中,对系统状态空间维数n=2且矩阵A的特征根为一对复根的线性离散系统,计算其能达丰富性为

          $\lambda=1:\quad V_{2}(C_{2}(A_{N}))=\rho^{2}\times\sum_{k=1}^{N-1}(N-k)\left|\sin(k\theta)\right|$

          $\lambda\neq1:\quad V_{2}(C_{2}(A_{N})) =\rho^{2}\times\sum_{k=1}^{N-1}\left|\sin(k\theta)\right|\frac{\lambda^{k}-\lambda^{2N-k}}{1-\lambda^{2}}$

       下面计算 $\lambda=1$ 时的能达丰富性的极值。

       对满足 $(N-1)(\frac{\pi}{N}+\delta)\leq\pi$ 的充分小 $\delta$ ，令 $\theta=\frac{\pi}{N}+\delta$ ,有

$V_{2}(C_{2}(A_{N})) =\rho^{2}\times\sum_{k=1}^{N-1}\left[\sin\frac{k\pi}{N}+\delta(N-k)k\cos\frac{k\pi}{N}-\frac{\delta^{2}}{2}(N-k)k^{2}\sin\frac{k\pi}{N}\right]+o(\delta^{2})$

考虑到

$\sum_{k=1}^{N-1}(N-k)k\cos\frac{k\pi}{N}=0,\qquad\sum_{k=1}^{N-1}(N-k)k^{2}\sin\frac{k\pi}{N}>0$

故有,函数 $V_{2}(C_{2}(A_{N}))$ 的极值点为 $\theta^{*}=\frac{\pi}{N}$ ,函数 $V_{2}(C_{2}(A_{N}))$ 的极值(最大能达丰富性)为

$\max_{\theta\in[0,\pi]}V_{2}(C_{2}(A_{N}))=\rho_{B}^{2}\sum_{k=1}^{N-1}(N-k)\sin\frac{k\pi}{N}$

即,当 $N=2,3,4$ 时, $V_{2}(C_{2}(A_{N}))$ 的极值和极值点分别为：

          $\max_{\theta\in[0,\pi]}V_{2}(C_{2}(A_{2}))=\rho_{B}^{2},\qquad\theta^{*}=\frac{\pi}{2}$

          $\max_{\theta\in[0,\pi]}V_{2}(C_{2}(A_{3}))=\frac{3\sqrt{3}}{2}\rho_{B}^{2},\qquad\theta^{*}=\frac{\pi}{3}$

          $\max_{\theta\in[0,\pi]}V_{2}(C_{2}(A_{4}))=\left(2+2\sqrt{2}\right)\rho_{B}^{2},\qquad\theta^{*}=\frac{\pi}{4}$

      由上述结果并可推知,当 $\left|\lambda\right|<1$ 时,函数 $V_{2}(C_{2}(A_{N}))$ 的极值点为 $\theta^{*}\geq\frac{\pi}{N}$ ;当 $\left|\lambda\right|>1$ 时,函数 $V_{2}(C_{2}(A_{N}))$ 的极值点为 $\theta^{*}\leq\frac{\pi}{N}$ .