4）、复空间与波函数  

    复空间，复数波函数

ψ（x,y）＝u(x, y)+iv(x, y)

＝A(x,y)exp(-iα)                             （5）

相位角α=α(x ,y)是x，y的函数。

    微观客体静止时只有自旋存在，当微观客体运动时就伴随有物质波产生，这种意义下的物质波是实在的波，不是概率波。公式（5）将为物质波波函数的推导作准备。

5）、物质波的物理模型及物质波波函数的推导

自旋是微观客体自身的固有属性。微观客体内部物质的旋转运动，在坐标复空间表示为

                     Z′＝x′＋iy′＝re ^iωt′                      (6)

ω为微观客体内部物质旋转的角频率。                

设“静态”微观客体自身的坐标系为k′(x′,t′），“静态微观客体内部物质的旋转运动”，以自身坐标系的时间t′为自由变量的物质运动方程是

                     Ψ₀＝R₀exp（iω₀ t′）                         (7)

式（7）中，ω₀＝2πm₀c²/h=m₀c²/ħ.

若微观客体(K′系）以速度v相对坐标系K（x,t）（观测系）沿x轴正方向匀速运动，利用洛仑兹变换

t′＝(t－v x /c²)/(1－v²/c²)^1/2

代入式(6)得

Ψ(x,k)＝Aexp{iω₀ (t－v x /c²)/(1－v²/c²)^1/2}

＝Aexp{iω(t－v x /c²)}

＝Aexp{－i(p.x－Et)/ħ}

＝Aexp{－i(mv.x－mc.ct)/ħ}                  

＝Aexp{－i(k.x－k₁ x₁)}          

＝Aexp{－i(k^μ.x_μ)}                                (8)

其中ω＝ω₀/(1－v²/c²)^1/2=＝mc²/ħ，k_μ＝p_μ/ħ, (μ=1,2,3,4)，上述波函数与式（5）相似, 但相位角变成是x，k的函数 (这里的k替代了(5)式中的y)。一般，波函数相位角应是x，k乘积的无量纲标量函数，而乘积k^μ.x_μ刚好是无量纲函数。该相角是是AB，AC等几何相位物理效应的根源。

对自由微观客体A是常数（归一化因子），在势场中，A=A（x，k），即A是x和k的函数，满足归一化条件，我们将在双4维复时空空间讨论。

描述微观客体波动运动的波函数式（8），就是大家熟悉的相对论性物质波波函数。但我们放弃了典力学中的质点模型，波函数的推导中完全展示了物质波的物理来源。