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统计物理学中最有趣的问题----Ising 模型【长篇连载：2】
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咱们上回说到，Ising先生求解出了一维模型的精确解。接下来，自然而然的就该到考虑二维的问题了。二维Ising模型究竟有没有相变？这个问题，既是困难重重，又是充满诱惑，真是吸引的无数英雄竟折腰啊！！！（顺便怀念一下伟大的毛主席诞辰118周年）
Ising先生和20世界早期那些物理学英雄们曾经试图求解出二维Ising模型的精确解，但终因难度太大，而以失败告终了。随后，Ising先生列举出了下面的一些似是而非事实，试图想要说明二维Ising模型没有相变：
1.配分函数Z是针对所有配置的
的和；
的和； 2.随着温度T的变化，上述的指数函数是处处解析的
3.因此，解析函数的求和也是解析的
但是仔细推敲上述的理由却会发现不少漏洞：所有的热力学函数，都是配分函数Z的对数函数，而对数函数并非处处解析的。另外，上述事实仅能针对尺寸有限的系统，如果一个系统是处在热力学极限下(即尺寸是无限项的系统)，那么无限项的和，是有可能导致奇异点出现的。
因此，自从Ising先生给出一维模型的精确解，事隔十年之后，英国人Peierls明确的指出了二维Ising模型中是会发生相变的。Peierls并没有严格求解出二维Ising模型(以当时的理论发展水平来看，也不必对Peierls先生苛求)，但是他从统计物理学的观点来进行考虑，严格的证明了相变的存在。高！实在是高啊！事实上，从统计物理学出发，严格证明相变存在与否，已经发展成为了统计模型理论的一个专门分支，我们对于这一分支不想展开讨论，仅仅在此对Peierls的工作进行一个简单的介绍。
Peierls对比了高温和低温的极限情况，当
时，所有的配置都具有相同的概率。每一个自旋都是和其他自旋相独立的。整个系统磁化强度M是自旋的平均值：
时，所有的配置都具有相同的概率。每一个自旋都是和其他自旋相独立的。整个系统磁化强度M是自旋的平均值：
对于非常高的温度，当温度趋于无穷时，磁化强度是零。为了理解这一点，我们首先需要注意到，如果自旋A和自旋B仅有一个小的相关系数
，自旋B和自旋C又仅有一个小的相关，而A和C之间相互独立的话，那么A和C的相关系数就是
。对于两个自旋，如果相互间隔距离为L的话，那么相关系数就是
，如果两点之间存在n条路径的话，那么这个值还需要增加n倍。
，自旋B和自旋C又仅有一个小的相关，而A和C之间相互独立的话，那么A和C的相关系数就是。对于两个自旋，如果相互间隔距离为L的话，那么相关系数就是，如果两点之间存在n条路径的话，那么这个值还需要增加n倍。 对于d维方形网格，长度为L的两点间存在的路径数目为：
上述结论其实很简单：对于每一步，都存在2d种可选的方向
在低温，即T趋于0时，所有的配置都在最低能量配置的附近，这时，几乎所有的自旋都是上旋或下旋的。Peierls重点考察是否会发生这样一种情况：在低温下，所有的的上自旋通过涨落，自发的变到全是下自旋。要让上述情况发生，关键在于上自旋的一些零零散散的小簇，能够聚集成一个大的集团。
在下自旋的大环境下，上自旋小簇的能量正比于簇的边界长度L。对于长度为L的簇，整个区域的大小是介于(L-2)/2和(L/4)^2之间的。引入一个簇的概率正比于因子exp(-H/kT)。然而该因子需要乘以长度为L的簇的总数量，该数量小于长度为L的路径的总量，即：
因此，来自于簇的总的自旋贡献，就可以表示为
该值对于低温趋向于零。在极低的温度下，该值指数下降，因此，磁化强度不会涨落的离-1太远。
至此，Peierls就可以得出结论，二维Ising模型中，磁化强度最终定义了一个超级区(superselection sector)，该超级区和其他区域相隔离，不会被其他区域有限的涨落所影响。从而也就必然会存在相变了......
欲知后事如何，且听下回分解。。。
https://blog.sciencenet.cn/blog-219583-522435.html
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